AI Math
Buka Aplikasi

Kalkulator Trigonometri Invers

Evaluasi arcsin, arccos, dan arctan dengan solusi langkah demi langkah

Seret & lepas atau klik untuk menambahkan gambar atau PDF

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

Apa itu Fungsi Trigonometri Invers?

Fungsi trigonometri invers membalik fungsi trigonometri baku. Diberikan sebuah rasio, fungsi ini mengembalikan sudutnya:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

Karena fungsi trigonometri tidak satu-ke-satu, kita membatasi domainnya untuk mendefinisikan invers yang tepat:

FungsiDomainDaerah Hasil (Nilai Utama)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Notasi alternatif: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x), cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x), tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (perhatikan: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}).

Hubungan utama:

  • arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} untuk semua x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
  • arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} untuk semua xx

Fungsi trigonometri invers muncul dalam integrasi (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C), geometri, navigasi, dan fisika.

Cara Mengevaluasi Fungsi Trigonometri Invers

Metode 1: Menggunakan Nilai yang Diketahui

Untuk nilai baku, gunakan lingkaran satuan secara terbalik:

arcsin⁡(12)=π6karena sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{karena } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Nilai eksak umum:

Masukanarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

Metode 2: Metode Segitiga Siku-siku

Untuk mengevaluasi komposisi seperti cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})):

  1. Misalkan θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}), sehingga sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. Gambar segitiga siku-siku: depan =3= 3, sisi miring =5= 5
  3. Cari samping =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (teorema Pythagoras)
  4. Maka cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

Metode 3: Identitas Aljabar

Identitas yang berguna untuk penyederhanaan:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

Metode 4: Turunan Fungsi Trigonometri Invers

Ini penting untuk kalkulus:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

Perbandingan Pendekatan

MetodePaling Cocok UntukIndikator Utama
Nilai DiketahuiRasio bakuMasukan adalah 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1
Segitiga Siku-sikuKomposisiEkspresi tipe cos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot))
IdentitasPenyederhanaan aljabarPerlu mengeliminasi trigonometri invers
KalkulatorDesimal non-bakuTidak diharapkan bentuk eksak

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

  • Mengacaukan sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) dengan 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}: Notasi sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) berarti arcsin, bukan kosekan. Gunakan konteks atau lebih baik notasi "arc" untuk menghindari kebingungan.
  • Mengabaikan daerah nilai utama: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}, bukan 11π6\frac{11\pi}{6}. Jawaban harus berada dalam daerah hasil yang didefinisikan [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].
  • Menerapkan pencoretan secara salah: sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x untuk x∈[−1,1]x \in [-1,1], tetapi arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x hanya ketika x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. Di luar daerah ini, Anda mendapatkan sudut acuan dengan tanda yang sesuai.
  • Kesalahan domain: arcsin⁡(2)\arcsin(2) dan arccos⁡(−3)\arccos(-3) tidak terdefinisi dalam bilangan real karena domainnya [−1,1][-1, 1].
  • Tanda salah pada langkah Pythagoras: Saat menggunakan metode segitiga siku-siku, pastikan Anda mengambil tanda yang benar berdasarkan kuadran yang diimplikasikan oleh daerah nilai utama.

Examples

Step 1: Kita perlu θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] sedemikian sehingga cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: Kita tahu cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Karena kosinus negatif, θ\theta berada di Kuadran II
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: Misalkan θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3}, sehingga tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} dengan θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: Gambar segitiga siku-siku: depan =4= 4, samping =3= 3, sisi miring =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=depansisi miring=45\sin\theta = \frac{\text{depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: Pertama hitung sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4}. Sudut ini berada di Kuadran III dengan sudut acuan π4\frac{\pi}{4}: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: Sekarang cari arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}): kita perlu θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] dengan sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (di Kuadran IV dari daerah terbatas)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) menjawab 'sudut apa yang memiliki sinus x?' Demikian pula untuk arccos dan arctan. Mereka adalah operasi invers dari sin, cos, dan tan. Misalnya, arcsin(1/2) = 30 derajat (atau pi/6 radian) karena sin(30 derajat) = 1/2.

Karena sinus, kosinus, dan tangen periodik, setiap nilai keluaran berkaitan dengan tak hingga banyak sudut. Untuk membuat invers menjadi fungsi yang tepat (satu keluaran per masukan), kita membatasi ke daerah nilai utama. Untuk arcsin ini adalah [-pi/2, pi/2], untuk arccos adalah [0, pi], dan untuk arctan adalah (-pi/2, pi/2).

Tidak. sin^(-1)(x) berarti arcsin(x), fungsi invers. Kebalikan 1/sin(x) ditulis sebagai csc(x) (kosekan). Ini adalah sumber kebingungan yang umum karena notasi eksponen yang ambigu.

Arcsin dan arccos hanya menerima masukan antara -1 dan 1 inklusif, karena sinus dan kosinus tidak pernah melebihi batas tersebut. Arctan menerima bilangan real apa pun sebagai masukan karena tangen dapat menghasilkan nilai real apa pun.

Related Solvers

Kalkulator TrigonometriKalkulator Sin Cos TanKalkulator TurunanKalkulator Integral
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving