Kalkulator Skor-z

Sebuah skor-z (juga disebut skor baku) mengukur berapa banyak simpangan baku suatu nilai dari rata-rata:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

di mana $x$ adalah nilai mentah, $\mu$ adalah rata-rata populasi, dan $\sigma$ adalah simpangan baku populasi.

Penafsiran:

• $z = 0$: nilai sama dengan rata-rata.
• $z = 1$: satu simpangan baku di atas rata-rata.
• $z = -2$: dua simpangan baku di bawah rata-rata.
• $|z| > 2$ secara konvensi 'tidak biasa'; $|z| > 3$ adalah 'ekstrem'.

Mengapa membakukan?

• Keterbandingan: skor-z memungkinkan Anda membandingkan nilai dari distribusi berbeda (mis., $z = 1.5$ pada uji matematika SAT vs $z = 1.5$ pada uji verbal berarti kinerja relatif yang sama).
• Pencarian probabilitas: jika distribusi yang mendasari kira-kira normal, $z$ memetakan langsung ke probabilitas melalui CDF normal baku $\Phi(z)$.
• Deteksi pencilan: $|z|$ besar menandai pencilan potensial.

Versi sampel: ketika bekerja dari data sampel, ganti $\mu$ dengan $\bar{x}$ dan $\sigma$ dengan $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Langkah demi Langkah

1. Identifikasi nilai $x$, rata-rata $\mu$ (atau $\bar{x}$), dan simpangan baku $\sigma$ (atau $s$).
2. Kurangkan rata-rata: $x - \mu$.
3. Bagi dengan simpangan baku: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Kebalikan: Cari $x$ dari $z$

$x = \mu + z\sigma$

Berguna ketika diberi persentil dan diminta nilai mentah yang bersesuaian.

Probabilitas melalui Normal Baku

Untuk variabel berdistribusi normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, variabel terbakukan $Z = (X - \mu)/\sigma$ mengikuti normal baku $N(0, 1)$.

Probabilitas umum:

Simetri: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Aturan Empiris (68-95-99,7)

Untuk distribusi normal:

• ~68% nilai jatuh dalam $\pm 1\sigma$ dari rata-rata.
• ~95% dalam $\pm 2\sigma$.
• ~99,7% dalam $\pm 3\sigma$.

Ini adalah fondasi untuk selang kepercayaan dan banyak estimasi cepat.

Nilai-Z Kritis untuk Selang Kepercayaan

Ini adalah nilai $z^*$ sedemikian sehingga $P(-z^* < Z < z^*) =$ tingkat kepercayaan.

• Urutan salah: $z = (x - \mu)/\sigma$, bukan $(\mu - x)/\sigma$. Menempatkan rata-rata di urutan kedua membalikkan tanda.
• Menggunakan ragam alih-alih simpangan baku: bagi dengan $\sigma$, bukan $\sigma^2$. Nilai 'sejauh satu ragam' tidak bermakna — Anda menginginkan satu simpangan baku.
• Sampel vs populasi: dengan data sampel, gunakan $\bar{x}$ dan $s$. Dengan parameter yang diketahui, gunakan $\mu$ dan $\sigma$. Mengacaukannya menggelembungkan/mengempiskan skor-z.
• Mengasumsikan kenormalan tanpa memeriksa: skor-z dapat dihitung untuk distribusi apa pun, tetapi pencarian probabilitas $\Phi(z)$ hanya berlaku jika distribusi yang mendasari normal (atau kira-kira normal menurut TLP).
• Lupa tanda: $z = -2$ berarti 'di bawah rata-rata.' Melaporkan $z = 2$ menyalahgambarkan arah.
• Mengacaukan probabilitas satu sisi dan dua sisi: $P(|Z| > 2)$ adalah kedua ekor digabung ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ adalah satu ekor ($\approx 0.0228$). Baca pertanyaan dengan cermat.