AI Math
Buka Aplikasi

Kalkulator Integral Lipat Tiga

Evaluasi integral lipat tiga dalam koordinat kartesius, silinder, atau bola dengan solusi langkah demi langkah bertenaga AI
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Apa itu Integral Lipat Tiga?

Sebuah integral lipat tiga memperluas konsep integral tunggal dan lipat dua ke tiga dimensi. Untuk fungsi f(x,y,z)f(x, y, z) yang didefinisikan pada daerah benda padat E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

memberikan akumulasi total ff pada EE. Elemen volume infinitesimal dVdV menjadi dx dy dzdx\,dy\,dz dalam koordinat Kartesius, tetapi dapat ditulis ulang tergantung pada geometri EE.

Makna fisis umum:

  • Jika f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, integral memberikan volume dari EE.
  • Jika f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) adalah rapat massa, integral memberikan massa total.
  • Momen, pusat massa, dan momen inersia semuanya adalah integral lipat tiga dari fungsi rapat massa berbobot.

Kunci untuk mengevaluasi integral lipat tiga adalah memilih sistem koordinat yang tepat dan menyusun batas dengan benar.

Cara Menyusun dan Mengevaluasi Integral Lipat Tiga

Langkah 1: Pilih Koordinat

Geometri DaerahKoordinat TerbaikElemen Volume
Kotak / umumKartesius (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Simetri silinderSilinder (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Simetri bolaBola (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Langkah 2: Susun Batas

Proyeksikan daerah ke bidang koordinat untuk menentukan urutan integrasi. Untuk benda padat tipe-I yang dibatasi di atas oleh z=g2(x,y)z = g_2(x,y) dan di bawah oleh z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Langkah 3: Evaluasi Secara Berulang

Integralkan yang terdalam dahulu, perlakukan variabel luar sebagai konstanta. Kemudian lanjutkan ke luar.

Koordinat Silinder

Gunakan substitusi x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Faktor tambahan rr berasal dari determinan Jacobian.

Koordinat Bola

Gunakan x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Jacobian ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi sangat penting — melupakannya adalah kesalahan paling umum.

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

  • Lupa Jacobian: Silinder mendapat faktor rr, bola mendapat ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Melewatkan ini memberikan jawaban salah setiap kali.
  • Urutan batas yang salah: Batas terdalam boleh bergantung pada variabel luar, tetapi batas terluar harus berupa konstanta. Membalik ini menghasilkan hal yang tidak masuk akal.
  • Kesalahan tanda dengan sin⁡φ\sin\varphi: Dalam koordinat bola, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (sehingga sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Menggunakan φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] adalah salah.
  • Mencampur konvensi: Beberapa buku menggunakan φ\varphi untuk sudut polar (dari sumbu-z), yang lain untuk sudut azimut. Konsistenlah dengan satu konvensi.
  • Tidak menggambar daerah: Untuk benda padat yang tidak sederhana, sketsa cepat menyelamatkan Anda dari batas yang mustahil.

Examples

Step 1: Susun integral berulang: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Integralkan terhadap zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Integralkan terhadap yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Integralkan terhadap xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: Dalam koordinat bola: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volume = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Dalam: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Tengah: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Luar: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Hasil kali: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Beralih ke silinder: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Integral = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Dalam: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Tengah: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Luar: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Gunakan silinder ketika daerah memiliki simetri putar terhadap sumbu-z tetapi tanpa struktur radial khusus (silinder, paraboloid, kerucut di atas/di bawah cakram). Gunakan bola ketika daerah dibatasi oleh bola, kerucut dari titik asal, atau memiliki simetri radial 3D penuh (bola padat, kulit bola).

Jacobian adalah determinan yang menyesuaikan elemen volume ketika mengubah koordinat. Dalam silinder ia sama dengan r, dalam bola ia sama dengan ρ² sin φ. Tanpanya, integral mengukur volume yang salah.

Lihat daerahnya: integralkan variabel dengan batas yang bergantung pada variabel lain (terdalam) dahulu, lalu bergerak ke luar. Variabel terluar harus memiliki batas konstan. Jika satu urutan menghasilkan batas yang buruk, tukar urutannya menggunakan sketsa daerah.

Ya, jika integran dapat bernilai negatif. Untuk perhitungan volume, integrannya 1 dan jawabannya selalu positif. Untuk kuantitas fisis seperti fluks bertanda atau gaya neto, nilai negatif mungkin dan bermakna.

Related Solvers

Kalkulator IntegralKalkulator TurunanKalkulator Deret

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving