AI Math
Buka Aplikasi

Kalkulator Deret

Analisis kekonvergenan, hitung jumlah, dan ekspansikan deret Taylor/Maclaurin dengan solusi langkah demi langkah

Seret & lepas atau klik untuk menambahkan gambar atau PDF

∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

Apa itu Deret?

Sebuah deret adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Deret tak hingga berbentuk:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Jumlah parsial adalah SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit berhingga SS, kita katakan deret konvergen dan ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. Jika tidak, deret divergen.

Deret Geometri: Deret ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n konvergen ke a1−r\frac{a}{1-r} ketika ∣r∣<1|r| < 1.

Deret-p: Deret ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} konvergen ketika p>1p > 1 dan divergen ketika p≤1p \leq 1.

Deret Pangkat: Deret berbentuk ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n yang merepresentasikan suatu fungsi dalam jari-jari kekonvergenannya.

Deret Taylor: Ekspansi deret pangkat dari f(x)f(x) di sekitar x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Ketika a=0a = 0, ini disebut deret Maclaurin.

Cara Menentukan Kekonvergenan

Uji Divergensi (uji suku ke-n)

Jika lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, deret divergen. Catatan: jika limitnya 0, uji ini tidak konklusif.

Uji Rasio

Hitung L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • Jika L<1L < 1: konvergen mutlak
  • Jika L>1L > 1: divergen
  • Jika L=1L = 1: tidak konklusif

Uji Akar

Hitung L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Aturan kesimpulan sama dengan Uji Rasio.

Uji Integral

Jika f(n)=anf(n) = a_n di mana ff positif, kontinu, dan menurun untuk x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an konvergen  ⟺  ∫1∞f(x) dx konvergen\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergen} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ konvergen}

Uji Perbandingan

Jika 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n untuk semua nn:

  • Jika ∑bn\sum b_n konvergen, maka ∑an\sum a_n konvergen
  • Jika ∑an\sum a_n divergen, maka ∑bn\sum b_n divergen

Uji Deret Berganti-ganti (Uji Leibniz)

Deret berganti-ganti ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n konvergen jika:

  1. bn>0b_n > 0 untuk semua nn
  2. bnb_n menurun
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

Deret Taylor/Maclaurin Umum

FungsiDeret MaclaurinJari-jari
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

Memilih Uji yang Tepat

UjiPaling Cocok UntukIndikator Utama
DivergensiEliminasi cepatSuku jelas tidak mendekati 0
RasioFaktorial, eksponensialn!n! atau rnr^n dalam suku
AkarPangkat ke-nan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
IntegralFungsi menurun sederhanaan=f(n)a_n = f(n) mudah diintegralkan
PerbandinganSuku menyerupai deret yang dikenalMirip deret-p atau geometri
Berganti-gantiDeret bertanda berganti-gantiFaktor (−1)n(-1)^n

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

  • Menyalahgunakan Uji Divergensi: Jika lim⁡an=0\lim a_n = 0, ini TIDAK membuktikan kekonvergenan. Deret harmonik ∑1/n\sum 1/n divergen meskipun 1/n→01/n \to 0.
  • Menerapkan Uji Rasio ketika L = 1: Ketika limit rasio sama dengan 1, uji tidak memberikan informasi. Anda harus menggunakan uji lain.
  • Mengacaukan kekonvergenan mutlak dan bersyarat: Sebuah deret bisa konvergen bersyarat (seperti deret harmonik berganti-ganti) tanpa konvergen mutlak.
  • Jari-jari kekonvergenan yang salah: Jangan lupa memeriksa titik ujung secara terpisah saat mencari selang kekonvergenan.
  • Sisa deret Taylor: Polinomial Taylor hanyalah hampiran; untuk suku berhingga, ada suku sisa yang batasnya penting untuk ketepatan.

Examples

Step 1: Terapkan Uji Rasio: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1, sehingga deret konvergen
Step 3: Untuk mencari jumlahnya, gunakan rumus ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} dengan x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: Mulai dengan deret geometri: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n untuk ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: Substitusikan t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: Sederhanakan: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots untuk ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, berlaku untuk ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: Ini adalah deret berganti-ganti dengan bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: Periksa: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n menurun ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: Menurut Uji Deret Berganti-ganti, deret konvergen (secara bersyarat, karena ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} divergen sebagai deret-p dengan p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: Deret konvergen secara bersyarat

Frequently Asked Questions

Sebuah deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati bilangan berhingga saat Anda menambahkan lebih banyak suku. Sebuah deret divergen jika jumlah parsialnya tumbuh tanpa batas atau berosilasi tanpa menetap pada suatu nilai.

Deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi rumit dengan polinomial, membuatnya lebih mudah dihitung, diturunkan, atau diintegralkan. Deret ini fundamental dalam fisika, teknik, dan analisis numerik untuk menghampiri fungsi di dekat titik tertentu.

Jari-jari kekonvergenan R adalah jarak dari pusat deret pangkat di mana deret konvergen. Untuk |x - a| < R deret konvergen mutlak, untuk |x - a| > R deret divergen, dan pada |x - a| = R Anda harus memeriksa titik ujung secara individual.

Tidak. Deret harmonik, yaitu jumlah dari 1/n dari n=1 hingga tak hingga, divergen. Meskipun suku-sukunya mendekati nol, suku-suku itu tidak menurun cukup cepat agar jumlahnya tetap berhingga. Ini adalah contoh klasik yang menunjukkan bahwa suku menuju nol perlu tetapi tidak cukup untuk kekonvergenan.

Related Solvers

Kalkulator TurunanKalkulator IntegralKalkulator LimitPenyelesai Persamaan Diferensial
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving