Kalkulator Deret Taylor

Sebuah deret Taylor merepresentasikan fungsi sebagai polinomial tak hingga yang dibangun dari turunan fungsi pada satu titik $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Ketika $a = 0$, deret disebut deret Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Mengapa ini penting: Deret Taylor mengonversi perhitungan pada fungsi yang mungkin sulit ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) menjadi perhitungan pada polinomial, yang dapat ditangani komputer dan manusia. Deret ini adalah fondasi metode numerik, ekspansi asimtotik, dan teori hampiran.

Polinomial Taylor berderajat $n$ adalah jumlah parsial yang mempertahankan suku hingga $(x-a)^n$. Ini adalah hampiran polinomial terbaik dari $f$ di dekat $a$ dalam pengertian yang tepat (mencocokkan nilai dan $n$ turunan pertama).

Langkah 1: Hitung Turunan di Titik Ekspansi

Untuk $f(x)$ dan titik ekspansi $a$, hitung $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Langkah 2: Substitusikan ke Rumus

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Deret Maclaurin Umum yang Harus Dihafal

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Jari-jari Kekonvergenan

Sebuah deret Taylor konvergen hanya dalam jari-jari kekonvergenan $R$ di sekitar $a$. Cari menggunakan uji rasio:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Di luar jari-jari ini, deret divergen dan tidak merepresentasikan fungsi. Di dalam, kekonvergenan biasanya seragam pada himpunan bagian kompak.

Memanipulasi Deret yang Diketahui

Untuk kecepatan, substitusikan, turunkan, atau integralkan deret yang diketahui alih-alih menghitung turunan dari awal:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (substitusikan $-x^2$ ke $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Lupa faktorial: Suku ke-$n$ memiliki $\frac{1}{n!}$, bukan hanya turunannya. Melewatkan ini memberikan jawaban yang sangat salah.
• Menggunakan deret di luar jari-jari kekonvergenannya: $\frac{1}{1-x}$ tidak sama dengan $\sum x^n$ ketika $|x| > 1$ — deret divergen di sana.
• Lupa memusatkan di $a$: Deret Taylor di sekitar $a$ menggunakan pangkat dari $(x-a)$, bukan $x$.
• Mengacaukan derajat dan jumlah suku: Polinomial Taylor berderajat $n$ memiliki $n+1$ suku (derajat $0$ hingga $n$).
• Kesalahan tanda substitusi: $\sin(-x) = -\sin(x)$, sehingga deret $\sin(-x)$ memiliki tanda berganti-ganti yang terbalik dibandingkan $\sin(x)$.