Penyelesai Sistem Persamaan

Sebuah sistem persamaan (juga disebut persamaan simultan) adalah himpunan dua atau lebih persamaan dengan variabel yang sama yang harus dipenuhi secara bersamaan. Solusinya adalah himpunan nilai yang membuat setiap persamaan benar secara serentak.

Sebuah sistem dua persamaan linear dengan dua variabel berbentuk:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Secara geometris, setiap persamaan merepresentasikan sebuah garis di bidang. Solusinya adalah titik di mana garis-garis itu berpotongan.

Sebuah sistem dapat memiliki:

• Satu solusi tunggal: Garis-garis berpotongan tepat di satu titik (konsisten dan bebas).
• Tidak ada solusi: Garis-garis sejajar (tidak konsisten).
• Tak hingga banyak solusi: Garis-garis identik (konsisten dan bergantung).

Sistem persamaan muncul dalam banyak penerapan: masalah pencampuran, analisis rangkaian, keseimbangan penawaran dan permintaan, arus lalu lintas, dan optimasi. Sistem yang lebih besar dengan 3+ variabel muncul dalam teknik dan ilmu data.

1. Metode Substitusi

Selesaikan satu persamaan untuk satu variabel, lalu substitusikan ke persamaan lainnya.

Contoh: Selesaikan $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. Dari persamaan 1: $x = y + 1$
2. Substitusikan ke persamaan 2: $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. Substitusi balik: $x = 1 + 1 = 2$

2. Metode Eliminasi

Jumlahkan atau kurangkan persamaan untuk mengeliminasi satu variabel.

Contoh: Selesaikan $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. Kalikan persamaan 2 dengan 3: $3x - 3y = 3$
2. Tambahkan ke persamaan 1: $5x = 10$ → $x = 2$
3. Substitusi balik: $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. Metode Matriks (Eliminasi Gauss)

Tulis sistem sebagai matriks diperbesar dan lakukan reduksi baris:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. Aturan Cramer

Untuk sistem $2 \times 2$, jika $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. Grafik

Gambar setiap persamaan dan identifikasi titik perpotongannya.

• Substitusi yang salah: Saat menyubstitusikan sebuah ekspresi, ganti variabel di setiap tempat ia muncul dan gunakan tanda kurung.
• Mengalikan hanya sebagian persamaan: Saat mengalikan untuk mengeliminasi, setiap suku (termasuk konstanta) harus dikalikan.
• Kehilangan jejak tanda: Lebih berhati-hatilah dengan koefisien negatif selama eliminasi.
• Menyatakan tidak ada solusi terlalu dini: Mendapatkan $0 = 0$ berarti tak hingga banyak solusi (sistem bergantung), bukan tidak ada solusi. Hanya $0 = c$ (di mana $c \neq 0$) yang berarti tidak ada solusi.
• Lupa mencari semua variabel: Setelah menemukan satu variabel, selalu substitusi balik untuk mencari variabel lainnya.