Penyelesai Pertidaksamaan

Sebuah pertidaksamaan adalah pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi menggunakan salah satu simbol:

• $<$ (kurang dari)
• $>$ (lebih dari)
• $\leq$ (kurang dari atau sama dengan)
• $\geq$ (lebih dari atau sama dengan)

Berbeda dengan persamaan (yang bertanya "nilai apa yang membuat dua sisi sama?"), pertidaksamaan bertanya "nilai apa yang membuat satu sisi lebih besar (atau lebih kecil) dari sisi lain?"

Misalnya, pertidaksamaan:

$2x - 5 > 3$

bertanya: untuk nilai $x$ berapa $2x - 5$ lebih besar dari $3$?

Solusi pertidaksamaan biasanya berupa rentang nilai (sebuah interval), bukan satu bilangan. Solusi sering dinyatakan dalam notasi interval:

• $(a, b)$: semua nilai secara ketat di antara $a$ dan $b$
• $[a, b]$: semua nilai dari $a$ hingga $b$, inklusif
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: semua nilai kurang dari $a$ atau lebih dari $b$

Pertidaksamaan bersifat fundamental dalam optimisasi, masalah kendala, dan menentukan domain serta range fungsi.

1. Pertidaksamaan Linear

Selesaikan seperti persamaan linear, dengan satu aturan penting: membalik tanda pertidaksamaan ketika mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.

Contoh: Selesaikan $2x - 5 > 3$

1. Tambahkan 5: $2x > 8$
2. Bagi dengan 2: $x > 4$

Solusi: $(4, \infty)$

Contoh dengan pembalikan tanda: Selesaikan $-3x + 6 \leq 12$

1. Kurangi 6: $-3x \leq 6$
2. Bagi dengan $-3$ (balik!): $x \geq -2$

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Selesaikan persamaan yang bersesuaian terlebih dahulu, lalu uji interval.

Contoh: Selesaikan $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Faktorkan: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Titik kritis: $x = -1$ dan $x = 5$
3. Uji interval:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Solusi: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Pertidaksamaan Rasional

Cari di mana pembilang dan penyebut bernilai nol (titik kritis), lalu uji tanda di setiap interval. Jangan pernah mengalikan kedua sisi dengan ekspresi yang bisa negatif.

4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

• $|x| < a$ berarti $-a < x < a$
• $|x| > a$ berarti $x < -a$ atau $x > a$

5. Metode Bagan Tanda

Untuk pertidaksamaan polinomial/rasional, buat bagan tanda yang menunjukkan tanda setiap faktor di setiap interval.

• Lupa membalik tanda pertidaksamaan: Ketika Anda mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif, Anda harus membalik arah pertidaksamaan.
• Memasukkan titik kritis secara keliru: Untuk pertidaksamaan ketat ($<$, $>$), titik kritis TIDAK disertakan. Untuk $\leq$ atau $\geq$, disertakan.
• Mengalikan dengan variabel tanpa mempertimbangkan tandanya: Jika Anda mengalikan kedua sisi dengan $x$, Anda harus mempertimbangkan kasus $x > 0$ dan $x < 0$ secara terpisah.
• Menangani pertidaksamaan majemuk secara keliru: Untuk $a < f(x) < b$, selesaikan kedua bagian secara bersamaan, bukan terpisah.
• Menulis solusi dalam notasi yang salah: Gunakan tanda kurung untuk pertidaksamaan ketat dan kurung siku untuk yang inklusif.