Deret Taylor Dijelaskan: Mendekati Fungsi Apa Pun dengan Polinomial

Jika turunan menangkap kemiringan sebuah fungsi di suatu titik, maka deret Taylor menangkap keseluruhan fungsi di suatu titik — dengan menumpuk tak hingga banyak turunan. Deret ini adalah jembatan antara kalkulus dan komputasi numerik: setiap kali kalkulator Anda menghitung $\sin(0.4)$, di balik layar ia menjumlahkan sebuah deret Taylor.

Rumus deret Taylor

Deret Taylor sebuah fungsi $f$ yang berpusat di $x = a$ adalah:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Artinya: evaluasi $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … di titik $a$, lalu bangun sebuah polinomial yang suku ke-$n$-nya adalah $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Ketika $a = 0$, deret ini disebut deret Maclaurin — kasus yang paling umum.

Mengapa ini berhasil?

Di sekitar titik $a$, sebuah fungsi tampak seperti garis singgungnya (suku $n=1$), lalu seperti parabola yang menyertakan kelengkungan ($n=2$), kemudian kubik, dan seterusnya. Setiap turunan yang lebih tinggi menangkap informasi bentuk yang lebih halus. Jumlahkan tak hingga banyak suku dan (untuk fungsi yang "berperilaku baik") Anda memulihkan $f$ secara persis.

Tiga ekspansi Maclaurin klasik

Hafalkan ketiga ini — mereka muncul terus-menerus:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

Deret eksponensial memiliki semua pangkat; sinus hanya memiliki pangkat ganjil; kosinus hanya memiliki pangkat genap. Kesimetrisan itu adalah konsekuensi langsung dari turunan mana yang bernilai nol di $0$.

Contoh terselesaikan: membangun $\sin x$ dari nol

Misalkan $f(x) = \sin x$. Di $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• Polanya berulang setiap 4 turunan.

Substitusikan ke rumus Taylor:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
yang disederhanakan menjadi $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. Sama seperti rumus di atas.

Pendekatan dalam praktik

Untuk $x$ kecil di dekat 0, bahkan beberapa suku pertama sudah sangat akurat:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (nilai sebenarnya: $0.0998334\dots$).

Inilah sebabnya pendekatan sudut kecil $\sin x \approx x$ berlaku: suku berikutnya sangat kecil ketika $x$ kecil.

Konvergensi — kapan deret benar-benar sama dengan $f$?

Deret Taylor memiliki jari-jari konvergensi $R$. Untuk $|x - a| < R$ deret sama dengan $f(x)$; di luarnya, deret divergen. Beberapa fungsi ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) memiliki $R = \infty$. Yang lain, seperti $1/(1-x)$ berpusat di 0, memiliki $R = 1$.

Kesalahan umum

• Melupakan penyebut faktorial $n!$.
• Tertukar ekspansi deret — sin punya pangkat ganjil, cos punya pangkat genap, $e^x$ punya semua.
• Mengasumsikan konvergensi tanpa memeriksa jari-jarinya.

Coba dengan AI Series Solver

Gunakan Kalkulator Deret untuk menghitung ekspansi Taylor untuk fungsi apa pun — ia menampilkan langkah-langkah turunan, polinomial yang dihasilkan, dan pemeriksaan kewajaran numerik.

Tautan terkait:

• Kalkulator Turunan — blok penyusun setiap deret Taylor
• Kalkulator Limit — konvergensi adalah pertanyaan limit
• Kalkulator Integral — deret Taylor dapat diintegralkan suku demi suku