Cara memfaktorkan polinomial: enam metode, langkah demi langkah

Memfaktorkan polinomial adalah jembatan antara aljabar dan hampir semua hal yang menyusul setelahnya — menyelesaikan persamaan, menyederhanakan ekspresi rasional, mengintegralkan dalam kalkulus. Panduan ini membahas enam teknik standar secara berurutan, sehingga ketika Anda melihat sebuah polinomial, Anda memiliki daftar periksa alih-alih menebak.

Pohon keputusan

Untuk polinomial apa pun, tanyakan dengan urutan ini:

1. Faktor bersama? Keluarkan terlebih dahulu.
2. Dua suku → selisih kuadrat / pangkat tiga.
3. Tiga suku → kuadrat sempurna atau pencarian pasangan bilangan bulat.
4. Empat suku → pengelompokan.
5. Derajat tinggi → uji akar rasional, lalu pembagian sintetik.

Mengikuti urutan ini menghemat waktu dan mencegah faktorisasi yang terlewat.

Metode 1: Faktor persekutuan terbesar (FPB)

Selalu keluarkan FPB terlebih dahulu. Itu menyederhanakan segala hal lainnya.

Contoh: Faktorkan $6x^3 + 9x^2 - 15x$.

• FPB dari $6, 9, -15$ adalah $3$. FPB dari $x^3, x^2, x$ adalah $x$.
• FPB gabungan: $3x$.
• $6x^3 + 9x^2 - 15x = 3x(2x^2 + 3x - 5)$.
• Sekarang faktorkan kuadrat di dalamnya: cari bilangan yang dikalikan menjadi $(2)(-5) = -10$ dan dijumlahkan menjadi $3$. Coba $5$ dan $-2$: ✓.
• Akhir: $3x(2x + 5)(x - 1)$.

Metode 2: Selisih kuadrat

Jika Anda melihat $a^2 - b^2$, langsung terapkan

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$

Contoh: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$.

Perhatikan kuadrat tersembunyi: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$.

Metode 3: Jumlah dan selisih pangkat tiga

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Contoh: $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Suku tengah pada faktor trinomial sering membingungkan siswa — tandanya berlawanan dengan tanda pangkat tiga semula, lalu suku terakhir bertanda positif.

Metode 4: Trinomial kuadrat sempurna

$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

Contoh: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ — dikenali karena $9 = 3^2$ dan $6 = 2 \cdot 3$.

Pola ini muncul di mana-mana dalam kalkulus (melengkapkan kuadrat, integral Gaussian).

Metode 5: Pencarian pasangan bilangan bulat untuk $x^2 + bx + c$

Cari dua bilangan yang dikalikan menjadi $c$ dan dijumlahkan menjadi $b$.

Contoh: Faktorkan $x^2 + 7x + 12$.

• Pasangan dari $12$: $(1,12), (2,6), (3,4)$. Pasangan $(3, 4)$ dijumlahkan menjadi $7$. ✓
• Hasil: $(x + 3)(x + 4)$.

Untuk $ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 1$, gunakan metode AC: cari pasangan yang dikalikan menjadi $ac$ dan dijumlahkan menjadi $b$, pisahkan suku tengah, faktorkan dengan pengelompokan.

Metode 6: Memfaktorkan dengan pengelompokan

Digunakan ketika Anda memiliki empat suku. Kelompokkan berpasangan, faktorkan tiap pasangan, harapkan binomial bersama.

Contoh: Faktorkan $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$.

• Kelompokkan: $(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = x^2(x + 2) + 3(x + 2)$.
• Faktor bersama $(x + 2)$: $(x + 2)(x^2 + 3)$.

Pengelompokan juga menangani trinomial ketika metode AC mengharuskan pemisahan suku tengah.

Metode 7 (lanjutan): Teorema akar rasional

Untuk polinomial berderajat tinggi dengan koefisien bilangan bulat, teorema akar rasional menyatakan bahwa setiap akar rasional $p/q$ memiliki $p$ yang membagi suku konstanta dan $q$ yang membagi koefisien utama. Uji kandidat-kandidat tersebut dengan pembagian sintetik — begitu Anda menemukan satu akar $r$, maka $(x - r)$ adalah faktor dan Anda dapat menurunkan derajat polinomial.

Contoh: Faktorkan $x^3 - 2x^2 - x + 2$.

• Kemungkinan akar rasional: $\pm 1, \pm 2$.
• Uji $x = 1$: $1 - 2 - 1 + 2 = 0$. ✓ Jadi $(x - 1)$ adalah faktor.
• Pembagian sintetik menghasilkan $x^2 - x - 2$, yang difaktorkan menjadi $(x - 2)(x + 1)$.
• Akhir: $(x - 1)(x - 2)(x + 1)$.

Kesalahan umum

• Lupa mengeluarkan FPB terlebih dahulu — menyebabkan faktorisasi yang berantakan dan penyederhanaan yang terlewat.
• Kesalahan tanda pada selisih kuadrat — $a^2 - b^2 \neq (a - b)^2$. Banyak siswa tanpa sengaja menulis bentuk kuadrat sempurna.
• Mencoba memfaktorkan bilangan prima. Tidak setiap kuadrat dapat difaktorkan atas bilangan bulat. $x^2 + 1$ tidak memiliki faktorisasi real. Beralihlah ke rumus kuadrat atau terima saja "tak tereduksi".
• Berhenti setelah satu kali jalan. Selalu periksa apakah setiap faktor masih dapat difaktorkan lebih lanjut (terutama setelah mengeluarkan FPB — ekspresi di dalamnya sering kali masih dapat difaktorkan lagi).

Berlatih dengan solver kami

Masukkan polinomial apa pun ke Kalkulator Faktorisasi gratis dan kami akan menampilkan setiap langkah, termasuk metode mana yang kami coba dan alasannya. Padukan dengan Solver Kuadrat ketika faktorisasi gagal untuk derajat dua.

Untuk contoh terkerjakan tertentu:

• Faktorkan x² + 7x + 12
• Faktorkan x² - 16
• Selesaikan x² + 5x + 6 = 0 (faktorisasi + sifat hasil kali nol)