दूरी सूत्र कैलकुलेटर

दूरी सूत्र निर्देशांक स्थान में दो बिंदुओं के बीच सीधी-रेखा दूरी परिकलित करता है। यह बिंदुओं के बीच क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पृथक्करण से बने समकोण त्रिभुज पर लागू पाइथागोरस प्रमेय का एक प्रत्यक्ष परिणाम है।

2D रूप — बिंदुओं $P_1 = (x_1, y_1)$ और $P_2 = (x_2, y_2)$ के लिए:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D रूप — बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के लिए:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$-विमीय रूप (यूक्लिडीय दूरी):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

यह स्वाभाविक रूप से किसी भी संख्या की विमाओं तक सामान्यीकृत होता है, यही कारण है कि यह भौतिकी, सांख्यिकी, और मशीन लर्निंग में 'दूरी' की प्रमुख धारणा है।

चरण-दर-चरण

1. बिंदुओं को नामांकित करें $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$। कोई भी निर्धारण काम करता है — सूत्र सममित है।
2. अंतर परिकलित करें: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$।
3. उनका वर्ग करें: $(\Delta x)^2$ और $(\Delta y)^2$।
4. योग करें: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$।
5. वर्गमूल लें: $d = \sqrt{\text{योग}}$।
6. यदि संभव हो तो करणी को सरल करें (जैसे, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$)।

ज्यामितीय व्युत्पत्ति

$(x_1, y_1)$ से $(x_2, y_1)$ तक एक क्षैतिज खंड खींचें — लंबाई $|x_2 - x_1|$।
$(x_2, y_1)$ से $(x_2, y_2)$ तक एक ऊर्ध्वाधर खंड खींचें — लंबाई $|y_2 - y_1|$।
मूल खंड इन दो भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, अतः पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

वर्गमूल लेने पर दूरी सूत्र मिलता है। निरपेक्ष मानों की आवश्यकता नहीं क्योंकि वर्ग करने से चिह्न हट जाता है।

संबंधित सूत्र

• मध्यबिंदु: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — निर्देशांकों का औसत।
• प्रवणता: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — दूरी सूत्र के समान अंतरों का प्रयोग करती है।
• बिंदु से मूल बिंदु तक दूरी: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ ($(x_1, y_1) = (0, 0)$ वाली विशेष स्थिति)।

मैनहट्टन / टैक्सीकैब दूरी (तुलना के लिए)

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र यूक्लिडीय दूरी है। मैनहट्टन दूरी $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ एक ग्रिड पर यात्रा मापती है (कोई विकर्ण नहीं)। ये भिन्न मेट्रिक हैं — सुनिश्चित करें कि आप जानते हैं कि आपकी समस्या किसे चाहती है।

• वर्ग करना भूलना: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$। वर्ग (और वर्गमूल) आवश्यक हैं।
• चिह्न त्रुटियाँ: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, अतः घटाव क्रम मायने नहीं रखता — परंतु केवल वर्ग के कारण। अंतर 'देखकर' वर्ग न छोड़ें।
• वर्गमूल लेना भूलना: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$, $d^2$ है, $d$ नहीं। कई विद्यार्थी एक चरण पहले रुक जाते हैं।
• करणी को सरल न करना: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$। $\sqrt{8}$ छोड़ना तकनीकी रूप से सही है परंतु परीक्षाओं में आमतौर पर अंक कटते हैं।
• 2D और 3D को मिलाना: यदि आपकी समस्या 3D में है, $(z_2 - z_1)^2$ पद शामिल करें। यदि 2D, कोई $z$ पद न गढ़ें।