वियोजित भाग कैलकुलेटर

वियोजित भाग एक बहुपद $p(x)$ को रैखिक गुणनखंड $x - k$ से भाग देने का एक संक्षिप्त तरीका है। यह दीर्घ भाग से तेज़ है और वही भागफल तथा शेषफल देता है, बस कम लिखाई के साथ।

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ को $x - k$ से भाग देने पर वियोजित भाग देता है:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

जहाँ $q(x)$ भागफल है (घात $n - 1$) और $r$ अचर शेषफल है।

मुख्य उपयोग:

1. त्वरित बहुपद भाग जब भाजक एक रैखिक $x - k$ हो।
2. $p(k)$ का मान निकालना — शेषफल प्रमेय द्वारा, $p(k) = r$, अतः शेषफल ठीक फलन मान होता है।
3. बहुपदों का गुणनखंडन — यदि $r = 0$, तो $(x - k)$ एक गुणनखंड है और $q(x)$ सहगुणनखंड बताता है।
4. परिमेय मूल ज्ञात करना परिमेय मूल प्रमेय के साथ संयुक्त रूप से।

व्यवस्था

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ को $x - k$ से भाग देने के लिए:

1. भाजक का शून्य $k$ बाईं ओर लिखें।
2. $p(x)$ के गुणांक दाईं ओर सूचीबद्ध करें, किसी भी लुप्त पद के लिए शून्य सहित।

एल्गोरिथम

1. पहला गुणांक ($a_n$) अपरिवर्तित नीचे लाएँ।
2. $k$ से गुणा करें और परिणाम अगले गुणांक ($a_{n-1}$) के नीचे लिखें।
3. स्तंभ जोड़ें। योग नीचे की पंक्ति में लिखें।
4. दोहराएँ: उस योग को $k$ से गुणा करें, अगले गुणांक के नीचे लिखें, जोड़ें।
5. सभी गुणांक समाप्त होने तक जारी रखें।

परिणाम पढ़ना

नीचे की पंक्ति में होते हैं:

• पहली $n$ प्रविष्टियाँ: भागफल $q(x)$ के गुणांक (घात के अवरोही क्रम में)।
• अंतिम प्रविष्टि: शेषफल $r$।

उदाहरण: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

$x^3 + 0x^2 - 4x + 5$ के गुणांक: $[1, 0, -4, 5]$। भाजक का शून्य: $k = 2$।

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

भागफल: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$। शेषफल: $5$।

अतः $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$।

शेषफल प्रमेय से संबंध

$p(x) = (x - k)q(x) + r$ में शेषफल $r$, $p(k)$ के बराबर होता है। $x = k$ रखने पर:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

अतः वियोजित भाग $p(k)$ का मान बिना प्रतिस्थापन के निकालने का एक त्वरित तरीका है।

गुणनखंड प्रमेय

एक उपप्रमेय: $(x - k)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि $p(k) = 0$ हो यदि और केवल यदि वियोजित-भाग का शेषफल $0$ हो।

• लुप्त शून्य स्थानधारक छोड़ना: $p(x) = x^3 - 4x + 5$ के लिए, आपको लुप्त $x^2$ पद के लिए एक $0$ शामिल करना होगा। अन्यथा स्तंभ गलत संरेखित हो जाते हैं।
• $k$ पर चिह्न त्रुटि: $x - 2$ से भाग देने के लिए, $k = 2$ का प्रयोग करें (भाजक का शून्य)। $x + 3$ से भाग देने के लिए, $k = -3$ का प्रयोग करें।
• $ax - k$ भाजकों के लिए सीधे प्रयोग नहीं कर सकते: जैसा पढ़ाया जाता है, वियोजित भाग $x - k$ (अग्रणी गुणांक 1) के लिए काम करता है। $ax - k$ के लिए, पहले $a$ बाहर निकालें या बहुपद दीर्घ भाग का प्रयोग करें।
• पहला गुणांक नीचे लाना भूलना: पहला चरण हमेशा '$a_n$ नीचे लाएँ' होता है — अभी कुछ भी गुणा न करें।
• भागफल गलत पढ़ना: नीचे की पंक्ति की पहली $n$ प्रविष्टियाँ गुणांक हैं, और घात 1 से घट जाती है। $x - k$ से भाग दी गई घात-4 बहुपद घात-3 भागफल देती है।