पूर्ण वर्ग बनाना कैलकुलेटर

पूर्ण वर्ग बनाना एक बीजगणितीय तकनीक है जिसमें द्विघात $ax^2 + bx + c$ को इस रूप में पुनः लिखा जाता है:

$a(x - h)^2 + k$

जहाँ $(h, k)$ परवलय का शीर्ष है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है:

• एक नज़र में परवलय का शीर्ष (न्यूनतम/अधिकतम बिंदु) प्रकट करता है।
• आपको द्विघात सूत्र के बिना कोई भी द्विघात समीकरण हल करने देता है।
• यह वह अंतर्निहित तकनीक है जो द्विघात सूत्र को व्युत्पन्न करती है।
• कैलकुलस में $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ का मान निकालने में प्रयुक्त (arctan में सरल हो जाता है)।
• गाउसीय समाकलनों और भौतिकी के कई विषयों को समझने के लिए आवश्यक।

वह मूल सर्वसमिका जो इसे काम करवाती है:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

स्थिति 1: अग्र गुणांक 1 है

$x^2 + bx + c$ के लिए:

1. $b$ का आधा लें और उसका वर्ग करें: $(b/2)^2$।
2. इस राशि को जोड़ें और घटाएँ: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$।
3. पूर्ण वर्ग को समूहित करें: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$।

उदाहरण: $x^2 + 6x + 5$

• 6 का आधा 3 है। वर्ग: 9।
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

शीर्ष रूप: $(x + 3)^2 - 4$, शीर्ष $(-3, -4)$ पर।

स्थिति 2: अग्र गुणांक 1 नहीं है

$ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$ के लिए:

1. पहले दो पदों में से $a$ को बाहर निकालें: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$।
2. कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएँ: $b/a$ का आधा $b/(2a)$ है, वर्ग $b^2/(4a^2)$ है।
3. अंदर जोड़ें और घटाएँ: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$।
4. सरल करें: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$।

ध्यान दें कि जब आप जोड़े गए पद को 'पूर्ववत' करते हैं, तो आप $a$ से गुणा करते हैं क्योंकि अंदर का भाग $a$ से गुणित है।

एक द्विघात समीकरण हल करना

$ax^2 + bx + c = 0$ के लिए:

1. पूर्ण वर्ग बनाकर $a(x - h)^2 + k = 0$ प्राप्त करें।
2. वर्गित पद को अलग करें: $(x - h)^2 = -k/a$।
3. वर्गमूल लें: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$।
4. हल करें: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$।

यह वस्तुतः वही है जो द्विघात सूत्र एक ही संक्षिप्त व्यंजक में करता है।

• संतुलन रखना भूलना: जब आप $(b/2)^2$ जोड़ते हैं, तो आपको इसे घटाना भी होगा। अन्यथा आपने व्यंजक बदल दिया है।
• गुणांक का गलत प्रबंधन: यदि $a \neq 1$, तो पूर्ण वर्ग बनाने से पहले आपको पहले दो पदों में से $a$ निकालना होगा, फिर वापस वितरित करते समय अपने सुधार को $a$ से गुणा करना होगा।
• $\pm$ के साथ चिह्न त्रुटियाँ: वर्गमूल लेने के बाद, दोनों शाखाएँ रखनी होंगी। $\pm$ छोड़ देने से एक हल खो जाता है।
• $b$ का आधा बनाम $b/2a$: जब अग्र गुणांक 1 हो, $b$ का आधा लें। जब न हो, पहले निकालें — फिर नए गुणांक का आधा लें।
• अचर को सरल करना भूलना: पूर्ण वर्ग बनाने के बाद, बचे हुए अचरों को एकल $k$ में संयोजित करें।