चतुर्भुज — क्षेत्रफल सूत्र

वर्ग

$A = s^2$

भुजा का वर्ग। वर्ग एक आयत है जिसकी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए $A = l\cdot w$ , $s^2$ बन जाता है।

आयत

$A = l \cdot w$

लंबाई × चौड़ाई। इकाई-वर्ग टाइलिंग तर्क: पूर्णांक भुजाओं $l\times w$ वाले आयत में ठीक $lw$ इकाई वर्ग समाते हैं।

समांतर चतुर्भुज

$A = b \cdot h$

आधार × लंबवत ऊँचाई — तिरछी भुजा नहीं। एक छोर का त्रिभुज काटकर दूसरे छोर पर खिसकाएँ; समांतर चतुर्भुज आयत बन जाता है।

समचतुर्भुज

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

विकर्णों के गुणनफल का आधा — विकर्ण समकोण पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँट देते हैं।

समलंब

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

दो समानांतर भुजाओं $a,b$ का औसत, ऊँचाई $h$ से गुणा। दो प्रतियों को विपरीत दिशा में जोड़ने पर आधार $a+b$ का समांतर चतुर्भुज बनता है।

पतंग

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

समचतुर्भुज जैसा ही विकर्ण-गुणनफल सूत्र — पतंग एक अधिक सामान्य आकृति है जिसके विकर्ण फिर भी लंबवत होते हैं।

त्रिभुज — उपलब्ध आँकड़ों के अनुसार

आधार और ऊँचाई

$A = \tfrac{1}{2} b h$

आधार × ऊँचाई ÷ 2 — किसी भी त्रिभुज पर लागू। दो प्रतियाँ मिलाकर आधार $b$ और ऊँचाई $h$ का समांतर चतुर्भुज बनती हैं।

हीरोन सूत्र (तीन भुजाएँ)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

जब केवल तीन भुजाएँ हों और ऊँचाई न दी गई हो तब उपयोग करें। $s$ अर्ध-परिमाप है।

दो भुजाएँ और बीच का कोण (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

तीसरे शीर्ष से ऊँचाई गिराइए; उसका मान $a\sin C$ है, जिससे मानक $\tfrac{1}{2}\cdot\text{आधार}\cdot\text{ऊँचाई}$ मिलता है।

समबाहु त्रिभुज

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$a=b$ , $C = 60^{\circ}$ पर SAS का विशेष मामला; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ से स्थिरांक $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ मिलता है।

वृत्त और वक्र आकृतियाँ

वृत्त

$A = \pi r^2$

$\pi r^2$ । $r$ के 0 से बढ़ने पर परिधि $2\pi r$ को समाकलित करने से प्राप्त होता है ("प्याज के छल्ले" विधि)।

त्रिज्यखंड

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

कोण $\theta$ रेडियन में। यह पूरे वृत्त के क्षेत्रफल $\pi r^2$ का $\theta / (2\pi)$ अंश है।

वलय (रिंग)

$A = \pi (R^2 - r^2)$

बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल माइनस भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल — बीच का खाली हिस्सा घटा दिया जाता है।

दीर्घवृत्त

$A = \pi a b$

अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ × अर्ध-लघु अक्ष $b$ × $\pi$ । जब $a = b = r$ तो $\pi r^2$ — वृत्त बराबर अक्षों वाला दीर्घवृत्त है।

सम बहुभुज और निर्देशांक

सम बहुभुज (n भुजाएँ)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ परिमाप है, $a$ अपोथेम (केंद्र से भुजा की दूरी)। बहुभुज को $n$ सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटें — सूत्र निकल आता है।

सम षट्भुज

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

सम षट्भुज ठीक $a$ भुजा वाले 6 समबाहु त्रिभुजों के बराबर है: $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ ।

निर्देशांक (शूलेस सूत्र)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

शीर्षों के निर्देशांक $(x_i, y_i)$ क्रम में डालिए और चक्र पूरा कीजिए ( $x_{n+1}=x_1$ )। किसी भी सरल बहुभुज पर लागू — त्रिकोणीयकरण की ज़रूरत नहीं।

क्षेत्रफल Formulas