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Calculatrice de formule du milieu

Trouvez le milieu entre deux points en 2D ou 3D avec des solutions étape par étape propulsées par l'IA

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∑Math Input
Midpoint of (1, 2) and (5, 8)
Midpoint of (-3, 4) and (7, -2)
Midpoint of (1, 2, 3) and (5, 8, 11)
Find midpoint between origin and (10, 6)

Qu'est-ce que la formule du milieu ?

La formule du milieu trouve le point exactement à mi-chemin entre deux points donnés. C'est simplement la moyenne des coordonnées :

Forme 2D — pour les points (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2) :

M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Forme 3D — pour les points (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) et (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) :

M=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

Pourquoi la moyenne fonctionne : le milieu divise le segment dans un rapport 1:11:1, et les coordonnées de tout point du segment sont des moyennes pondérées des extrémités. Avec des poids égaux (1/21/2 chacun), on obtient la simple moyenne arithmétique.

La formule du milieu apparaît constamment en géométrie analytique : trouver le centre d'un cercle à partir de son diamètre, le centre de gravité d'un triangle, les parallélogrammes, les médiatrices, et tout problème impliquant « à mi-chemin entre ».

Comment utiliser la formule du milieu

Étape par étape

  1. Identifier les deux points (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2).
  2. Moyenner les abscisses : x1+x22\frac{x_1 + x_2}{2}.
  3. Moyenner les ordonnées : y1+y22\frac{y_1 + y_2}{2}.
  4. Combiner dans le milieu (Mx,My)(M_x, M_y).

Pas de soustraction, pas de carrés, pas de racines — bien plus simple que la formule de distance.

Problème inverse : trouver une extrémité à partir du milieu

Si M=(Mx,My)M = (M_x, M_y) est le milieu de (x1,y1)(x_1, y_1) et (x2,y2)(x_2, y_2), vous pouvez résoudre pour l'une des extrémités :

x2=2Mx−x1,y2=2My−y1x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1

Doublez le milieu, soustrayez l'extrémité connue.

Généralisation : formule de section

Pour un point divisant un segment dans le rapport m:nm : n (pas seulement 1:11:1) :

P=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n)P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)

La formule du milieu est le cas particulier m=n=1m = n = 1.

Applications géométriques

  • Centre d'un cercle à partir des extrémités du diamètre : simplement le milieu.
  • Centre de gravité d'un triangle : moyenne des coordonnées des trois sommets (généralise le milieu à 3 points).
  • Médiatrice : une droite passant par le milieu, perpendiculaire au segment d'origine.
  • Diagonales d'un parallélogramme : les milieux des deux diagonales coïncident — utile pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Erreurs courantes à éviter

  • Soustraire au lieu d'additionner : le milieu moyenne — x1+x22\frac{x_1 + x_2}{2}, et non x2−x12\frac{x_2 - x_1}{2}. La soustraction appartient à la formule de distance.
  • Oublier de diviser chaque coordonnée : le diviseur 2 s'applique séparément à la somme des x et à la somme des y. Ce n'est pas une seule division à la fin.
  • Erreurs de signe avec des coordonnées négatives : −3+72=2\frac{-3 + 7}{2} = 2, et non −2-2 ou 55. Additionnez soigneusement.
  • Mélanger formules du milieu et de la pente : le milieu moyenne, la pente soustrait. Elles se ressemblent mais répondent à des questions différentes.
  • Oublier de mettre à jour pour la 3D : si votre problème est en 3D, incluez la moyenne en z. Si 2D, n'ajoutez pas un z fantôme.

Examples

Step 1: Moyenne xx : (1+5)/2=3(1 + 5)/2 = 3
Step 2: Moyenne yy : (2+8)/2=5(2 + 8)/2 = 5
Step 3: Milieu =(3,5)= (3, 5)
Answer: (3,5)(3, 5)

Step 1: Moyenne xx : (−3+7)/2=4/2=2(-3 + 7)/2 = 4/2 = 2
Step 2: Moyenne yy : (4+(−2))/2=2/2=1(4 + (-2))/2 = 2/2 = 1
Step 3: Milieu =(2,1)= (2, 1)
Answer: (2,1)(2, 1)

Step 1: Bx=2Mx−Ax=2⋅3−1=5B_x = 2 M_x - A_x = 2 \cdot 3 - 1 = 5
Step 2: By=2My−Ay=2⋅5−2=8B_y = 2 M_y - A_y = 2 \cdot 5 - 2 = 8
Step 3: B=(5,8)B = (5, 8)
Step 4: Vérifier : le milieu de (1,2)(1, 2) et (5,8)(5, 8) est (3,5)(3, 5) ✓
Answer: B=(5,8)B = (5, 8)

Frequently Asked Questions

Sur le calcul de la moyenne arithmétique de chaque coordonnée. Le milieu divise le segment en deux parties égales, et la moyenne de deux points également pondérés est simplement leur somme divisée par deux.

Le milieu moyenne deux points (le centre d'un segment). Le centre de gravité moyenne trois points ou plus — pour un triangle, il moyenne les coordonnées des trois sommets : ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3).

Oui. Si la somme de deux coordonnées entières est impaire, la coordonnée du milieu sera un demi-entier. Par exemple, le milieu de (1, 2) et (4, 7) est (2,5, 4,5).

Il n'y a pas de « milieu » pour plus de deux points, mais la généralisation naturelle est le centre de gravité — moyenner toutes les coordonnées : ((Σxᵢ)/n, (Σyᵢ)/n).

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