Calculatrice de formule de distance

La formule de distance calcule la distance en ligne droite entre deux points dans l'espace de coordonnées. C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par la séparation horizontale et verticale entre les points.

Forme 2D — pour les points $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Forme 3D — pour les points $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Forme à $n$ dimensions (distance euclidienne) :

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Ceci se généralise naturellement à n'importe quel nombre de dimensions, ce qui en fait la notion de « distance » de référence en physique, statistiques et apprentissage automatique.

Étape par étape

1. Étiqueter les points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$. N'importe quelle affectation fonctionne — la formule est symétrique.
2. Calculer les différences : $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Les élever au carré : $(\Delta x)^2$ et $(\Delta y)^2$.
4. Sommer : $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Prendre la racine carrée : $d = \sqrt{\text{sum}}$.
6. Simplifier le radical si possible (par ex. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Démonstration géométrique

Tracer un segment horizontal de $(x_1, y_1)$ à $(x_2, y_1)$ — longueur $|x_2 - x_1|$.
Tracer un segment vertical de $(x_2, y_1)$ à $(x_2, y_2)$ — longueur $|y_2 - y_1|$.
Le segment d'origine est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant ces deux côtés, donc par le théorème de Pythagore :

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Prendre les racines carrées donne la formule de distance. Les valeurs absolues ne sont pas nécessaires car l'élévation au carré supprime le signe.

Formules associées

• Milieu : $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — la moyenne des coordonnées.
• Pente : $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — utilise les mêmes différences que la formule de distance.
• Distance d'un point à l'origine : $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (cas particulier avec $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Distance de Manhattan / du taxi (pour comparaison)

Notez que la formule ci-dessus est la distance euclidienne. La distance de Manhattan $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ mesure un déplacement sur une grille (sans diagonales). Ce sont des métriques différentes — assurez-vous de savoir laquelle votre problème demande.

• Oublier d'élever au carré : $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Les carrés (et la racine carrée) sont essentiels.
• Erreurs de signe : $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, donc l'ordre de soustraction n'a pas d'importance — mais seulement à cause du carré. N'omettez pas le carré parce que vous « voyez » la différence.
• Oublier de prendre la racine carrée : $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ est $d^2$, pas $d$. Beaucoup d'élèves s'arrêtent une étape trop tôt.
• Ne pas simplifier le radical : $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Laisser $\sqrt{8}$ est techniquement correct mais souvent pénalisé aux examens.
• Mélanger 2D et 3D : si votre problème est en 3D, incluez le terme $(z_2 - z_1)^2$. Si 2D, n'inventez pas un terme en $z$.