Calculatrice de dérivée partielle

Une dérivée partielle mesure comment une fonction à plusieurs variables varie par rapport à une variable tout en maintenant les autres fixes. Pour $f(x, y)$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

La notation $\partial$ (d rond) distingue les dérivées partielles des dérivées ordinaires $\frac{d}{dx}$. Les notations équivalentes incluent $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Signification géométrique : $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ est la pente de la surface $z = f(x,y)$ en $(a,b)$ dans la direction $x$ — la tangente est dans le plan $y = b$.

Pourquoi c'est important : la descente de gradient, l'optimisation, la propagation des erreurs et la majeure partie du calcul vectoriel reposent sur les dérivées partielles. Le gradient $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ pointe dans la direction de la plus forte croissance.

Règle 1 : Traiter les autres variables comme des constantes

Pour trouver $\frac{\partial f}{\partial x}$, traiter $y, z, \ldots$ comme des constantes et dériver $f$ comme une fonction d'une seule variable en $x$.

Exemple : $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (le $3y$ disparaît car il n'a pas de $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ agit comme un coefficient)

Règle 2 : La règle de dérivation en chaîne et la règle du produit s'appliquent toujours

Pour $f(x, y) = \sin(xy)$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

Le $y$ à l'intérieur de la parenthèse est traité comme un coefficient constant lors de la dérivation de $xy$ par rapport à $x$.

Dérivées partielles d'ordre supérieur

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Théorème de Schwarz (dérivées partielles mixtes) : si $f$ a des dérivées partielles secondes continues, alors $f_{xy} = f_{yx}$. L'ordre de dérivation n'a pas d'importance.

Gradient et dérivée directionnelle

Le gradient est le vecteur de toutes les dérivées partielles premières :

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

La dérivée directionnelle dans la direction $\mathbf{u}$ (vecteur unitaire) est :

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Maximisée lorsque $\mathbf{u}$ pointe le long de $\nabla f$ — c'est la direction de plus forte croissance.

Règle de dérivation en chaîne (à plusieurs variables)

Si $z = f(x, y)$ et $x = x(t), y = y(t)$ :

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Dériver par rapport à la mauvaise variable : identifiez toujours quelle variable est « active » et lesquelles sont maintenues constantes. Souligner la variable active dans votre brouillon aide.
• Oublier la règle de dérivation en chaîne : $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, et non simplement $\cos(xy)$.
• Confondre les notations : $f_{xy}$ signifie dériver d'abord par rapport à $x$, puis à $y$ (certains ouvrages inversent cela — vérifiez la convention).
• Mauvaise direction du gradient : $\nabla f$ pointe dans la direction de plus forte croissance, pas du mouvement. Pour minimiser, déplacez-vous à l'opposé de $\nabla f$.
• Mélanger dérivées partielles et totales : quand $x$ et $y$ dépendent tous deux de $t$, utilisez la règle de dérivation en chaîne — pas $\partial f/\partial t$, qui est nul si $f$ n'a pas de $t$ explicite.