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Calculatrice d'intégrale impropre

Évaluez les intégrales impropres à bornes infinies ou à intégrandes non bornées avec des solutions étape par étape IA

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∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

Une intégrale impropre est une intégrale définie où soit :

  1. L'intervalle est infini : par ex. ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx ou ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. L'intégrande a une asymptote verticale à l'intérieur ou à une borne de l'intervalle : par ex. ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

Dans les deux cas, l'intégrale de Riemann standard est indéfinie, mais on peut parfois assigner une valeur finie en utilisant des limites.

Si la limite existe et est finie, l'intégrale impropre converge. Si la limite est infinie ou n'existe pas, l'intégrale diverge.

Les intégrales impropres sont centrales en probabilités (constantes de normalisation), pour les transformées de Laplace et de Fourier, et pour les critères de convergence des séries.

Comment évaluer les intégrales impropres

Type 1 : Intervalle infini

Remplacer l'infini par une limite :

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Pour les deux bornes infinies, scinder en un point cc commode :

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Les deux morceaux doivent converger indépendamment — sinon l'intégrale entière diverge.

Type 2 : Intégrande non bornée

Si ff est non bornée en x=cx = c à l'intérieur de [a,b][a, b], scinder et prendre les limites :

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Si la singularité est en x=ax = a :

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

Le test de pp

∫1∞1xp dxconverges if p>1, diverges if p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p > 1, \text{ diverges if } p \leq 1

∫011xp dxconverges if p<1, diverges if p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p < 1, \text{ diverges if } p \geq 1

L'exposant critique est p=1p = 1. Notez les règles de convergence opposées pour les deux cas.

Test de comparaison

Si 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) sur l'intervalle :

  • ∫g\int g converge ⇒∫f\Rightarrow \int f converge
  • ∫f\int f diverge ⇒∫g\Rightarrow \int g diverge

Utile lorsque l'intégrale elle-même est difficile mais la borne est facile.

Erreurs courantes à éviter

  • Traiter ∞\infty comme un nombre : vous ne pouvez pas « remplacer » par ∞\infty. Vous devez utiliser une limite.
  • Manquer les singularités internes : ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx a une singularité en 00 à l'intérieur de l'intervalle. Évaluer naïvement donne 00 (faux) — l'intégrale diverge en réalité.
  • Additionner des intégrales impropres par morceaux qui « se compensent » : ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — les deux moitiés divergent, donc l'intégrale diverge. La « valeur principale » est une notion différente (plus faible).
  • Mauvaise direction du test de pp : à ∞\infty, 1/xp1/x^p converge pour p>1p > 1. En 00, elle converge pour p<1p < 1. Ce sont des cas opposés — mémorisez les deux.
  • Oublier de vérifier la convergence avant d'intégrer : une intégrale impropre divergente n'a pas de valeur. Vérifiez toujours d'abord la convergence.

Examples

Step 1: Remplacer la borne par une limite : lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Calculer la primitive : ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Appliquer les bornes : lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Quand t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, donc la limite vaut 11
Answer: 11 (converges)

Step 1: Appliquer le test de pp avec p=1p = 1 : ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx converge ssi p>1p > 1
Step 2: Ici p=1p = 1, donc l'intégrale diverge
Step 3: Vérifier par la limite : lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Diverges

Step 1: Singularité en x=0x = 0. Utiliser le test de pp en 00 : 1/xp1/x^p converge ssi p<1p < 1
Step 2: Ici p=1/2<1p = 1/2 < 1, donc elle converge
Step 3: Calculer : lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (converges)

Frequently Asked Questions

Une intégrale impropre converge si la limite qui la définit est finie. Sinon elle diverge, ce qui signifie que l'aire sous la courbe est soit infinie soit indéfinie.

Le test de p s'applique aux intégrales de la forme ∫1/x^p sur [1, ∞) ou (0, 1]. Il est surtout utile en comparaison : si votre intégrande se comporte asymptotiquement comme 1/x^p, vous pouvez déterminer la convergence rapidement.

Une intégrale impropre converge absolument si ∫|f| converge. Elle converge conditionnellement si ∫f converge mais ∫|f| diverge. La convergence absolue est strictement plus forte.

Oui — l'aire peut être infinie. ∫_1^∞ 1/x dx est l'exemple canonique : la courbe y = 1/x est partout positive sur [1, ∞), pourtant l'aire dessous est infinie (diverge).

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