Calculatrice d'intégrale double

Une intégrale double calcule l'accumulation d'une fonction $f(x, y)$ sur une région bidimensionnelle $D$ :

$\iint_D f(x,y)\,dA$

où $dA$ est l'élément d'aire infinitésimal. En coordonnées cartésiennes $dA = dx\,dy$ ; en coordonnées polaires $dA = r\,dr\,d\theta$.

Significations physiques courantes :

• $f(x,y) = 1$ donne l'aire de $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (fonction hauteur) donne le volume sous la surface $z = h(x,y)$ au-dessus de $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (densité surfacique) donne la masse d'une plaque mince.

Les compétences clés sont : choisir les coordonnées, poser les bornes et évaluer comme des intégrales simples itérées en utilisant le théorème de Fubini.

Théorème de Fubini

Pour une $f$ continue sur un rectangle $D = [a, b] \times [c, d]$ :

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Les deux ordres fonctionnent, choisissez donc celui qui est le plus facile à intégrer.

Régions de type I et de type II

Type I ($y$ borné par des courbes de $x$) :

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Type II ($x$ borné par des courbes de $y$) :

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Coordonnées polaires

Pour les régions à symétrie circulaire, utiliser $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$ :

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

Le facteur $r$ provenant du jacobien est essentiel — l'oublier est l'erreur la plus courante.

Quand changer l'ordre d'intégration

Si une intégrale interne devient inextricable (par ex. $\int e^{x^2}\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire), changer l'ordre d'intégration rend souvent le problème soluble. Esquissez d'abord la région pour trouver des bornes équivalentes dans l'autre ordre.

• Mauvais ordre des bornes : les bornes internes peuvent dépendre des variables externes, mais les bornes externes doivent être des constantes. Inversé = réponse fausse.
• Oublier le jacobien polaire : $dA = r\,dr\,d\theta$, et non $dr\,d\theta$.
• Ne pas esquisser la région : pour une $D$ non rectangulaire, une esquisse rend évident le choix entre type I et type II.
• Tenter d'intégrer des fonctions internes impossibles : si vous tombez sur $\int e^{x^2}\,dx$ ou un intégrande non élémentaire similaire, changez l'ordre avant d'abandonner.
• Erreurs de signe avec des intégrandes négatives : si $f$ change de signe sur $D$, l'intégrale double peut être nulle — c'est correct, pas une erreur à « corriger ».