Dérivée vs différentielle

La dérivée et la différentielle sont des objets mathématiques étroitement liés mais distincts, et les confondre est la source de nombreuses erreurs subtiles en calcul différentiel.

Dérivée

La dérivée $f'(x)$ (ou $\frac{dy}{dx}$) est une fonction qui donne le taux de variation de $f$ en chaque $x$. Pour $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Numériquement : en $x = 3$, $f'(3) = 6$ — la pente de la tangente en ce point.

Différentielle

La différentielle $dy$ est une variation infinitésimale de $y$ correspondant à une variation infinitésimale $dx$ de $x$ :

$dy = f'(x) \, dx$

Pour $y = x^2$ : $dy = 2x \, dx$.

Les différentielles permettent d'écrire les dérivées comme des rapports d'infinitésimaux — utile dans la substitution (substitution $u$ dans les intégrales : $du = u'(x) dx$) et dans la séparation des variables des équations différentielles.

Quand la différence compte

Dans les intégrales : $\int 2x \, dx$ utilise la différentielle $dx$, pas la dérivée.

En dérivation implicite : à partir de $x^2 + y^2 = 25$, prendre les différentielles : $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, puis résoudre pour $\frac{dy}{dx}$.

En physique : $dW = F \, dx$ (travail comme différentielle), pas « le travail égale la dérivée de la force ».

Approximation linéaire

$dy$ sert aussi d'approximation linéaire de $\Delta y$ (la variation réelle) pour un $dx$ petit :

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

C'est la base de la propagation des erreurs, de la méthode de Newton et du fondement d'approximation linéaire de tout le calcul différentiel.

Verdict

Utilisez la dérivée $f'(x)$ quand vous voulez un taux / une fonction. Utilisez la différentielle $dy = f'(x) dx$ quand vous voulez une variation infinitésimale, surtout dans les intégrales, la substitution ou les EDO.