Kit de survie des identités trigonométriques

Il existe des dizaines d'identités trigonométriques, mais en pratique vous n'avez besoin d'en mémoriser qu'une douzaine environ — le reste peut se déduire en quelques secondes à partir de celles-ci. Cette page est le kit de survie : chaque identité qui mérite sa place, avec de courts exemples résolus pour chacune.

Le trio pythagoricien

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

La première est l'identité la plus utilisée de toutes les mathématiques. Les deux autres s'obtiennent en divisant tout par $\cos^2$ ou $\sin^2$.

Formules de somme et de différence

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Moyen mnémotechnique pour le cosinus : « cos cos moins sin sin » avec le signe opposé — le sinus est « sin cos plus cos sin » avec le même signe.

Formules de l'angle double

Substituez $\alpha = \beta = \theta$ dans les formules de somme :

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Il existe trois formes de la version cosinus à cause de l'identité pythagoricienne. Choisissez celle qui correspond au reste de votre expression.

Formules de l'angle moitié

Résoudre l'angle double du cosinus pour $\sin^2$ et $\cos^2$ donne :

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Ce sont les identités de réduction de puissance — c'est grâce à elles que $\int \sin^2 x \, dx$ devient élémentaire.

Exemple résolu : simplification

Simplifiez $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Numérateur : $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Dénominateur : $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Quotient : $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Toute l'expression touffue se réduit à $\tan x$.

Erreurs courantes

• Erreurs de signe dans les formules de somme — écrivez la formule en entier, ne vous fiez pas à votre mémoire en plein milieu d'un problème.
• $\sin^2\theta$ signifie $(\sin\theta)^2$, et non $\sin(\sin\theta)$.
• Oublier que $2\theta$ est l'angle, et non 2 fois la valeur — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, et non $2\sin 30°$.

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Le solveur de trigonométrie prend n'importe quelle expression et applique toutes ces identités pour la simplifier ou la résoudre.

Références associées :

• Calculatrice de simplification — les mêmes idées de simplification, version polynomiale
• Calculatrice d'intégrales — la réduction de puissance est essentielle pour les intégrales trigonométriques
• Calculatrice de séries — les développements de Taylor de sin et cos les utilisent directement