Taux liés : une stratégie de résolution répétable en 6 étapes

Les problèmes de taux liés semblent abstraits — « une échelle glisse le long d'un mur, à quelle vitesse le sommet tombe-t-il ? » — mais ils suivent tous le même schéma en six étapes. Maîtrisez la recette et ces problèmes passent de terrifiants à mécaniques.

La recette en 6 étapes

1. Lisez l'énoncé deux fois et identifiez chaque grandeur. Faites un croquis.
2. Étiquetez avec des lettres les grandeurs qui varient ; avec des nombres celles qui sont constantes.
3. Trouvez une équation reliant les grandeurs variables (géométrie, Pythagore, triangles semblables, aire, volume…).
4. Dérivez les deux membres par rapport au temps $t$ de façon implicite. Chaque grandeur variable apporte un terme $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Substituez les valeurs instantanées seulement après avoir dérivé. Substituer trop tôt détruit l'information sur le taux.
6. Résolvez pour le taux inconnu et vérifiez à nouveau les unités.

Exemple 1 : l'échelle qui glisse

Une échelle de 13 ft est appuyée contre un mur. Sa base glisse vers l'extérieur à 2 ft/s. À quelle vitesse le sommet glisse-t-il vers le bas lorsque la base est à 5 ft du mur ?

1. Variables : $x$ = distance de la base, $y$ = hauteur du sommet. Toutes deux varient avec $t$.
2. Contrainte : $x^2 + y^2 = 169$ (Pythagore — la longueur de l'échelle est constante).
3. Dérivation : $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Instantané : $x = 5$, donc $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. On donne $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Résolution : $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ ft/s.

Le sommet descend à $5/6$ ft/s. Le signe négatif signifie que la hauteur diminue — le test de cohérence est validé.

Exemple 2 : le cône qui se remplit d'eau

De l'eau se déverse dans un cône (pointe vers le bas) à $3 \text{ ft}^3/\text{min}$. Le cône a une hauteur de 10 ft et un rayon supérieur de 4 ft. À quelle vitesse le niveau de l'eau monte-t-il lorsque la profondeur est de 6 ft ?

1. Variables : $V$ = volume d'eau, $h$ = profondeur d'eau, $r$ = rayon de la surface de l'eau.
2. Volume d'un cône : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Utilisez les triangles semblables : $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Réduisez à une seule variable : $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Dérivation : $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Substituez $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$ : $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Résolution : $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ ft/min.

Erreurs fréquentes

• Substituer les nombres trop tôt — les dérivées « figent » la relation ; vous perdez l'information sur la façon dont les choses varient.
• Oublier la règle de dérivation en chaîne en dérivant quelque chose comme $r^2$ — cela devient $2r \frac{dr}{dt}$, et non $2r$.
• Ne pas éliminer les variables superflues à l'aide des triangles semblables avant de dériver.

Essayez avec le solveur de dérivées IA

Utilisez la Calculatrice de dérivées pour vérifier n'importe quelle étape de dérivation de taux liés — en particulier les étapes implicites.

Références liées :

• Calculatrice de limites — les dérivées sont des limites en arrière-plan
• Calculatrice d'intégrales — le pendant de la primitive
• Solveur de triangles — pour la mise en place géométrique de nombreux problèmes