Décomposition en éléments simples : le flux de travail complet

La décomposition en éléments simples est la compétence algébrique qui vous permet d'intégrer n'importe quelle fonction rationnelle de la planète. Au lieu de vous battre contre une fraction monstrueuse, vous la séparez en morceaux faciles à intégrer terme à terme. Ce guide passe en revue tous les cas que vous rencontrerez.

La mise en place

Une fonction rationnelle est $\frac{P(x)}{Q(x)}$ où $P, Q$ sont des polynômes. Les éléments simples ne fonctionnent que lorsque le degré de $P$ < degré de $Q$. Sinon, effectuez d'abord une division polynomiale pour détacher la partie polynomiale.

Après la division, factorisez $Q(x)$ complètement sur les réels. Chaque facteur relève de l'une des quatre catégories.

Les quatre cas

Cas 1 : facteurs linéaires distincts

Si $Q(x) = (x - a)(x - b)$, écrivez :

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Exemple. Décomposez $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Multipliez de part et d'autre : $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Posez $x = 1$ : $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Posez $x = -2$ : $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Donc $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Cas 2 : facteur linéaire répété

Pour $(x - a)^k$, il vous faut un terme par puissance jusqu'à $k$ :

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Cas 3 : facteur quadratique irréductible

Pour chaque $x^2 + bx + c$ irréductible, utilisez un numérateur à deux inconnues :

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Cas 4 : quadratique irréductible répété

Même idée que le cas 2, mais chaque puissance reçoit une forme $Bx + C$.

Application à l'intégration

Une fois la décomposition faite, intégrez terme à terme :

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ pour $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ se sépare en une partie $\ln$ et une partie $\arctan$.

Erreurs fréquentes

• Oublier de faire la division d'abord lorsque le degré de $P$ ≥ degré de $Q$.
• Sauter les termes répétés — $(x - 1)^3$ exige trois fractions distinctes.
• Essayer de factoriser des quadratiques irréductibles — vérifiez le discriminant avant de forcer des racines réelles.

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Références connexes :

• Calculatrice de factorisation — pour décomposer $Q(x)$
• Calculatrice de polynômes — pour préparer la division
• Calculatrice de limites — utilisée dans certaines astuces de vérification de la décomposition