Test d'hypothèse étape par étape : de H0 à la valeur p

Le test d'hypothèse est le cheval de bataille de l'inférence statistique, utilisé partout, des essais cliniques aux tests A/B sur les sites web. Pourtant, c'est aussi le sujet le plus mal compris de la statistique. Ce guide parcourt l'ensemble du processus une fois — clairement — afin que vous compreniez ce que signifie réellement une valeur p.

Les cinq étapes

1. Énoncez $H_0$ et $H_1$ : l'hypothèse nulle (statu quo) et l'alternative (l'affirmation que vous voulez étayer).
2. Choisissez un niveau de signification $\alpha$ : généralement 0,05 ou 0,01.
3. Calculez la statistique de test à partir de vos données ($z$, $t$, $\chi^2$, etc.).
4. Déterminez la valeur p : la probabilité d'observer des données aussi extrêmes si $H_0$ était vraie.
5. Décidez : si $p < \alpha$, rejetez $H_0$ ; sinon, ne rejetez pas.

Remarque : « ne pas rejeter » ≠ « accepter $H_0$ ». Vous n'avez simplement pas assez de preuves contre elle.

Test z à un échantillon (exemple résolu)

Une usine affirme que ses ampoules durent en moyenne 1000 heures ($\sigma = 50$). Vous testez 25 ampoules et mesurez $\bar x = 980$. L'affirmation est-elle réfutée à $\alpha = 0.05$ ?

1. $H_0: \mu = 1000$, $H_1: \mu \ne 1000$.
2. $\alpha = 0.05$, bilatéral.
3. Statistique de test : $z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2$.
4. valeur p : $2 \cdot P(Z < -2) \approx 2 \cdot 0.0228 = 0.0456$.
5. Comme $0.0456 < 0.05$, rejetez $H_0$. La durée de vie moyenne diffère significativement de 1000 heures.

Choisir le bon test

Situation	Test
Une moyenne, $\sigma$ connu	test z à un échantillon
Une moyenne, $\sigma$ inconnu, n petit	test t à un échantillon
Deux moyennes, échantillons indépendants	test t à deux échantillons
Deux moyennes appariées	test t apparié
Proportion(s)	test z pour une proportion
Adéquation / contingence	khi-deux

Erreur de type I vs erreur de type II

• Type I : rejeter un $H_0$ vrai. Probabilité = $\alpha$.
• Type II : ne pas rejeter un $H_0$ faux. Probabilité = $\beta$.
• Puissance = $1 - \beta$ : probabilité de détecter correctement un effet réel.

Ces trois grandeurs évoluent ensemble : réduire $\alpha$ augmente $\beta$ pour une taille d'échantillon fixe ; augmenter la taille d'échantillon réduit les deux.

Erreurs courantes

• « valeur p = probabilité que $H_0$ soit vraie » — faux. La valeur p est $P(\text{données} \mid H_0)$, et non $P(H_0 \mid \text{données})$.
• Comparaisons multiples — réaliser 20 tests à $\alpha = 0.05$ garantit en moyenne ≈1 faux positif. Utilisez une correction.
• Confondre signification et importance — un effet minuscule avec un $n$ énorme peut être hautement significatif tout en étant pratiquement sans intérêt.

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Références connexes :

• Calculateur de score z — la brique de base de tout test z
• Calculateur d'écart-type — l'entrée de variabilité
• Calculateur de loi normale — ce que les tests z présupposent