Se combinan fibras de cuarzo de densidad 2.2 g/cm³ con resina de poliéster de densidad 1.25 g/cm³, y el cuarzo forma el 67 % del compuesto en peso. Dados Ef = 73 GPa, Em = 2.72 GPa, Gf = 8.4 GPa y Gm = 2.15 GPa, calcula la rigidez transversal E22 y el módulo de cortante en el plano G12 con un decimal.

Step-by-step solution

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   Convierte las fracciones en peso a fracciones en volumen. Las reglas de las mezclas están escritas en términos de fracciones en volumen, así que primero hay que convertir el $67\%$ en peso. Con $W_f=0.67$ y $W_m=0.33$,

   $\frac{W_f}{\rho_f}=\frac{0.67}{2.2}=0.304545,\qquad \frac{W_m}{\rho_m}=\frac{0.33}{1.25}=0.264000$

   $V_f=\frac{0.304545}{0.304545+0.264000}=\frac{0.304545}{0.568545}=0.5357,\qquad V_m=0.4643$

   Fíjate en que las fibras bajan del $67\%$ en peso a solo el $53.6\%$ en volumen, porque el cuarzo es la fase más densa.

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   Elige la regla inversa (de Reuss) para la dirección transversal. Cargadas a través de las fibras, fibra y matriz soportan la misma tensión y sus deformaciones se suman, así que lo que se suma en proporción son las flexibilidades, no las rigideces:

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}$

   Usar aquí la regla directa $E=V_fE_f+V_mE_m$ sería el error clásico; esa forma solo vale a lo largo de las fibras.

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   Evalúa E₂₂.

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.5356572}{73}=0.007338,\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.4643428}{2.72}=0.170714$

   $\frac{1}{E_{22}}=0.178052\quad\Longrightarrow\quad E_{22}=5.6163\ \text{GPa}$

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   Aplica la misma regla al módulo de cortante.

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}=\frac{0.5356572}{8.4}+\frac{0.4643428}{2.15}=0.063769+0.215973=0.279742$

   $G_{12}=3.5747\ \text{GPa}$

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   Redondea a un decimal.

   $\boxed{E_{22}=5.6\ \text{GPa},\qquad G_{12}=3.6\ \text{GPa}}$

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   Comprueba que ambos resultados caen donde exige la física. Una regla inversa de las mezclas siempre queda entre los dos valores de los constituyentes y mucho más cerca del más débil: $E_{22}=5.6$ GPa está próximo a $E_m=2.72$ GPa y lejos de $E_f=73$ GPa, y $G_{12}=3.6$ GPa se sitúa entre $2.15$ y $8.4$ GPa. Como contraste, la rigidez longitudinal sería $V_fE_f+V_mE_m=0.5357(73)+0.4643(2.72)=40.4$ GPa, siete veces mayor, que es justamente el motivo por el que los laminados unidireccionales resultan tan anisótropos.