Dos fuerzas actúan en un punto. F_A = 700 N apunta 30 grados por encima del semieje x positivo. F_B tiene módulo desconocido y forma un ángulo theta con la dirección x negativa, de modo que su componente horizontal apunta en sentido contrario a la de F_A. Halla el módulo de F_B y el ángulo theta para que la resultante sea de 1500 N dirigida según el semieje y positivo.

Step-by-step solution

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   Convierte el dibujo en dos condiciones escalares. Una ecuación vectorial en el plano son dos ecuaciones. «La resultante apunta según $+y$» dice que la componente $x$ total es cero; «la resultante vale $1500$ N» dice entonces que la componente $y$ total es $1500$:

   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=1500$

   En esto consiste todo el truco: nunca hacen falta los cosenos directores de la resultante, solo estas dos líneas.

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   Descompón la fuerza conocida. Con $F_A$ a $30^\circ$ del semieje $x$ positivo:

   $F_{Ax}=700\cos 30^\circ=606.2178\text{ N},\qquad F_{Ay}=700\sin 30^\circ=350\text{ N}$

   Conserva los decimales de más en $F_{Ax}$; redondearlo a $606$ aquí desplaza el ángulo final una décima de grado aproximadamente.

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   Aplica las dos condiciones a $F_B$. Escribiendo las componentes de $F_B$ como $-F_B\cos\theta$ (que se opone a $F_A$) y $+F_B\sin\theta$:

   $606.2178-F_B\cos\theta=0\;\Longrightarrow\;F_B\cos\theta=606.2178$
   $350+F_B\sin\theta=1500\;\Longrightarrow\;F_B\sin\theta=1150$

   Dos ecuaciones y dos incógnitas, pero no son lineales, así que hay que resolverlas como sistema.

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   Eleva al cuadrado y suma para obtener el módulo. Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y sumarlas desaparece $\theta$, porque $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$:

   $F_B^2=1150^2+606.2178^2=1322500+367500=1690000$

   $F_B=\sqrt{1690000}=1300\text{ N}$

   Aquí los números salen exactos: $606.2178^2=367500$ hasta la última cifra, de modo que $F_B$ resulta un limpio $1.30\times 10^3$ N.

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   Divide para obtener el ángulo. Dividir la segunda ecuación entre la primera elimina $F_B$:

   $\tan\theta=\frac{1150}{606.2178}=1.89702\;\Longrightarrow\;\theta=\arctan(1.89702)=62.2^\circ$

   (Arrastrar $606.2$ en lugar del valor exacto $700\cos 30^\circ$ es lo que produce el $62.3^\circ$ que se ve a menudo; el valor correcto con un decimal es $62.2^\circ$.)

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   Contrasta la respuesta con las dos condiciones. Con $F_B=1300$ y $\theta=62.204^\circ$:

   $1300\cos 62.204^\circ=606.2\quad\text{cancela }F_{Ax}\;\checkmark$
   $350+1300\sin 62.204^\circ=350+1150=1500\;\checkmark$

   Se cumplen ambas condiciones, así que la resultante es realmente de $1500$ N justo hacia arriba según el eje $y$.