Una viga en voladizo AB mide 5 m y está empotrada en B. En el extremo libre A actúa una carga puntual descendente de 1800 kN, y una carga uniformemente distribuida de 500 kN/m actúa sobre los 4 m más próximos al empotramiento (de 1 m a 5 m medidos desde A). Hallar el cortante máximo y el momento flector máximo, y describir los diagramas de cortante y de momento flector.

Step-by-step solution

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   Reconocer dónde tienen que estar los valores extremos. En un voladizo sometido solo a cargas descendentes, tanto el cortante como el momento flector crecen de forma monótona desde cero en el extremo libre hasta sus máximos en el empotramiento. Por eso se pueden calcular los dos máximos directamente en $B$, sin buscar puntos críticos interiores.

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   Sustituir la carga distribuida por su resultante. La carga distribuida actúa sobre $4$ m:

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{kN}$

   y se aplica en el centroide de su tramo, que queda a $2$ m de $B$ (equivalentemente, a $3$ m de $A$). Esta resultante es válida para hallar reacciones y momentos de empotramiento, pero los diagramas en sí deben construirse a partir de la carga distribuida.

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   Hallar las reacciones en el empotramiento. El equilibrio vertical da la fuerza de reacción

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{kN}\ (\uparrow)$

   y el equilibrio de momentos respecto de $B$ da el momento de empotramiento

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

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   Construir el diagrama de fuerza cortante desde el extremo libre. Midiendo $x$ desde $A$:

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{kN (constante)}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{(recta)}$

   Así, el diagrama de cortante es una recta horizontal en $1800$ kN durante el primer metro y luego una rampa recta que sube hasta $1800+500(4)=3800$ kN en $B$, donde la reacción cierra el diagrama devolviéndolo a cero.

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   Construir el diagrama de momento flector. Puesto que $M(x)=\int_0^x V\,dx$ en valor absoluto (momento negativo en un voladizo):

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{(lineal, llega a }1800\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m en }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{(parabólico)}$

   En $x=5$: $M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$, que coincide con el momento de empotramiento obtenido del equilibrio.

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   Enunciar los máximos.

   $V_{\max}=3800\ \text{kN},\qquad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   ambos en el empotramiento $B$; los dos son nulos en el extremo libre $A$.

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{kN},\quad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}}$

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   Contrastar los dos caminos. El momento en $B$ se obtuvo dos veces: una por estática ($P\cdot 5+W\cdot 2$) y otra integrando el diagrama de cortante ($1800x+250(x-1)^2$ en $x=5$), y las dos dan $13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$. Que el valor de equilibrio coincida con el diagrama integrado es la comprobación habitual de que los diagramas se trazaron de forma coherente.