Una cuenta de ahorro tiene una tasa anual del 3.4% con intereses capitalizados trimestralmente. Ashley deposita 2,000 dólares en la cuenta. ¿Cuál es el saldo de la cuenta al cabo de 4 años, redondeado al centavo más cercano?

Step-by-step solution

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   Elige la fórmula de capitalización periódica. Como los intereses se añaden un número fijo de veces al año, el saldo es $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt},$ donde $P$ es el depósito, $r$ la tasa anual en forma decimal, $n$ las capitalizaciones por año y $t$ el número de años. Esto no es capitalización continua, así que $Pe^{rt}$ sería aquí el modelo equivocado.

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   Identifica con cuidado cada dato. $P=2000,\qquad r=0.034,\qquad n=4,\qquad t=4.$ Hay dos cosas que hacen tropezar: la tasa anual hay que pasarla de $3.4\%$ a $0.034$, y «trimestralmente» significa $n=4$ periodos al año, de modo que el exponente cuenta trimestres, no años.

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   Construye la tasa periódica y el número de periodos. La tasa por trimestre es $\frac{r}{n}=\frac{0.034}{4}=0.0085\quad (0.85\%\text{ por trimestre}),$ y el número de periodos de capitalización es $nt=4\times 4=16\text{ trimestres}.$

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   Evalúa el factor de crecimiento con suficientes cifras. $1.0085^{16}=1.14502360738\ldots$ Aquí la precisión importa: truncar el factor a $1.1437$ subestimaría el saldo en casi tres dólares, y a $1.145$ lo sobrestimaría en unos pocos centavos.

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   Multiplica por el capital y redondea. $A=2000\times 1.14502360738=2290.04721476\ldots$ Redondeado al centavo más cercano, $A=\$2{,}290.05.$ De esa cantidad, \290.05$ son intereses ganados.

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   Contrasta con el interés simple. El interés simple daría 2000(1+0.034\times 4)=2000\times 1.136=\2{,}272.00$. La capitalización trimestral tiene que superarlo, y lo hace, por$$18.05$- una diferencia pequeña pero positiva, exactamente lo que debe producir una tasa modesta del$3.4%$ a lo largo de cuatro años.