Un bono a 3 años paga un cupón anual de 80 y devuelve su valor nominal de 1,000 al vencimiento. Hoy cotiza en 938. Halla su rendimiento al vencimiento y, es decir, resuelve 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)^2 + 1080/(1+y)^3.

Step-by-step solution

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   Lee la ecuación como «precio = valor actual de los flujos de caja». Cada término descuenta un pago hasta hoy con la misma tasa desconocida $y$. El último término es $1080$, no $80$, porque el año 3 trae el cupón final y el valor nominal de $1{,}000$: $80+1000=1080$. El rendimiento al vencimiento es precisamente la única tasa de descuento que hace que el valor actual iguale el precio cotizado.

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   Sustituye $x=1+y$ y quita los denominadores. Con $x=1+y$ la ecuación queda

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   y al multiplicar todo por $x^3$ se obtiene una cúbica:

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   Esto muestra por qué no hay una fórmula cerrada: para tres o más periodos el rendimiento resuelve un polinomio de grado $\ge 3$, así que hay que hallarlo numéricamente. Aun así vale la pena hacer la sustitución, porque deja a la vista que la función es decreciente en $x$ — un rendimiento mayor significa siempre un precio menor —, de modo que existe exactamente una raíz con sentido económico.

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   Ancla la búsqueda con el valor nominal. Con $y=8\%$ (la tasa del cupón) el precio sería

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   exactamente el nominal. El bono cotiza en realidad a $938<1000$, con descuento, así que el rendimiento tiene que estar por encima del $8\%$. Esta sola comprobación te dice en qué dirección buscar antes de hacer cualquier tanteo.

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   Acota la raíz con dos tanteos. Prueba $y=10\%$ ($x=1.10$):

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   Todavía por encima de $938$, así que el rendimiento es mayor. Prueba $y=11\%$ ($x=1.11$):

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   Ahora queda por debajo de $938$. La raíz está atrapada entre el $10\%$ y el $11\%$.

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   Interpola y luego refina. La interpolación lineal entre los dos precios da una primera estimación

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   Uno o dos pasos de Newton sobre $f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ lo fijan en

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

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   Comprueba la respuesta valorando el bono otra vez. Con $y=10.51578\%$:

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   El precio se reproduce al centavo, así que $y\approx 10.52\%$. Observa que una estimación redondeada como $10.3\%$ valora el bono en unos $943.1$ — más de cinco dólares por encima —, y por eso importa el paso de acotación: no te detengas en la primera estimación que solo parece cercana.