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Chemistry · real student question

La fuerza atractiva entre un ion Mg²⁺ y un ion S²⁻ es 1.49 × 10⁻⁸ N. El radio del anión es 0.184 nm y el del catión, 0.065 nm. Tomando el exponente de Born n = 8, calcula la energía potencial neta cuando los dos iones apenas se tocan.

Question

La fuerza atractiva entre un ion Mg2+\mathrm{Mg^{2+}} y un ion S2−\mathrm{S^{2-}} es 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}. El radio del anión es 0.184 nm0.184\ \mathrm{nm} y el del catión, 0.065 nm0.065\ \mathrm{nm}.

Tomando el exponente de Born n=8n=8, calcula la energía potencial neta EnetaE_{\text{neta}} cuando los dos iones apenas se tocan.

Step-by-step solution

  1. Halla la separación en el contacto. «Apenas se tocan» significa que la distancia entre centros es la suma de los radios iónicos, y esa es además la separación de equilibrio r0r_0:

    r0=0.065+0.184=0.249 nm=2.49×10−10 m.r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.

  2. Extrae la constante de atracción a partir de la fuerza dada. La atracción de Coulomb tiene la forma F=Ar2F=\dfrac{A}{r^2}, donde A=k ∣z1z2∣e21A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1} agrupa todas las constantes de carga. En lugar de buscarlas en tablas, lee AA directamente de la fuerza medida:

    A=Fr02=(1.49×10−8)(2.49×10−10)2=9.24×10−28 J⋅m.A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.

  3. Escribe el modelo de Born para la energía neta. La atracción y la repulsión de corto alcance se combinan así:

    Eneta=−Ar+Brn,E_{\text{neta}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},

    donde el término repulsivo crece de manera muy abrupta (aquí n=8n=8) e impide que los iones colapsen uno sobre otro.

  4. Usa la condición de equilibrio para eliminar BB. En r=r0r=r_0 la energía es mínima, de modo que dEdr=0\dfrac{dE}{dr}=0:

    Ar02−nBr0 n+1=0 ⟹ B=A r0 n−1n.\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.

    Al sustituir de vuelta, el modelo de dos términos se reduce a una sola expresión limpia:

    Eneta=−Ar0+Anr0=−Ar0(1−1n).E_{\text{neta}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).

    Por eso nunca hace falta calcular BB: en el equilibrio, la repulsión siempre cancela la fracción 1/n1/n de la atracción.

  5. Sustituye los números. Con n=8n=8 el paréntesis vale 78\tfrac78:

    Ar0=9.24×10−282.49×10−10=3.71×10−18 J,Eneta=−78(3.71×10−18)≈−3.25×10−18 J.\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{neta}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.

    El signo negativo confirma que se trata de un par iónico ligado y estable.

  6. Contrasta la fuerza dada con la ley de Coulomb. Con z1=+2z_1=+2, z2=−2z_2=-2, k=8.988×109k=8.988\times 10^{9} y e=1.602×10−19 Ce=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}:

    F=k (2e)(2e)r02=1.488×10−8 N,F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},

    que coincide con el valor citado de 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}, así que los datos son consistentes entre sí.

Answer

Eneta=−Ar0(1−1n)≈−3.25×10−18 JE_{\text{neta}}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}

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