Una contraseña de tres cifras tiene todos sus dígitos distintos, su primera cifra es 2 más que la segunda y sus tres cifras suman 10. ¿Cuál es la correcta: 7-2-1, 4-2-4, 1-3-6 o 5-3-2?

Step-by-step solution

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   Enumera las tres condiciones como pruebas. Con las cifras $d_1d_2d_3$:

   $\text{(i) todas distintas},\qquad \text{(ii) } d_1=d_2+2,\qquad \text{(iii) } d_1+d_2+d_3=10.$

   Con cuatro candidatas sobre la mesa, contrastar cada una con tres pruebas cortas es más rápido que resolverlo desde cero.

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   Aplica primero la prueba más barata: que las cifras sean distintas. La opción B es $4$-$2$-$4$, que repite la cifra $4$. Queda eliminada de inmediato, sin ninguna aritmética.

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   Aplica la regla de la primera cifra a las demás.

   $\text{A: }7\overset{?}{=}2+2=4\ \text{✗},\qquad \text{C: }1\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✗},\qquad \text{D: }5\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✓}.$

   Las opciones A y C quedan eliminadas. Fíjate en que las tres, A, C y D, tienen suma de cifras $10$, así que la condición (iii) por sí sola no las habría separado: esa es la trampa del diseño.

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   Confirma la superviviente contra las tres condiciones. Para $5$-$3$-$2$: las cifras $5,3,2$ son todas distintas ✓; $5=3+2$ ✓; $5+3+2=10$ ✓.

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   Resuelve directamente y mira qué opción sobrevive. De (ii), $d_2=d_1-2$; sustituyendo en (iii) queda $d_3=12-2d_1$. Exigir $0\le d_3\le 9$ obliga a $d_1\in\{2,\ldots,6\}$, y la condición de cifras distintas solo descarta $d_1=4$ (que da $d_3=4=d_1$). Quedan cuatro contraseñas legales — $208$, $316$, $532$ y $640$ — y de ellas solo la D: 5-3-2 figura entre las opciones.