Un club de baloncesto tiene entre 31 y 39 socios. Al formar parejas no sobra nadie, pero al formar grupos de 3 sobra exactamente una persona. ¿Cuántos socios hay? Elige entre 32, 34, 35 y 36.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce cada frase a una afirmación de divisibilidad. Sea $n$ el número de socios. Entonces

   $31\le n\le 39,\qquad n\equiv 0\pmod 2,\qquad n\equiv 1\pmod 3.$

2. 2

   Aplica la primera condición para acortar la lista. Los números pares del intervalo son

   $32,\ 34,\ 36,\ 38.$

   Esto ya descarta la opción C ($35$), que es impar.

3. 3

   Aplica la segunda condición. Divide cada superviviente entre $3$ y anota el resto:

   $32=3(10)+2,\quad 34=3(11)+1,\quad 36=3(12)+0,\quad 38=3(12)+2.$

   Solo $34$ deja resto $1$.

4. 4

   Comprueba la respuesta con las dos frases originales. $34$ socios forman $17$ parejas sin que sobre nadie ✓, y $34$ socios forman $11$ grupos de tres sobrando una persona ✓. Así que el club tiene $34$ socios: la opción B.

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   Fíjate en la estructura general. Las dos condiciones juntas dicen que $n\equiv 4\pmod 6$, ya que $n$ debe ser par y $\equiv 1\pmod 3$. Los números que lo cumplen son $\ldots,28,34,40,\ldots$, y exactamente uno de ellos, $34$, cae en el intervalo dado; por eso el problema tiene respuesta única.