Hay 6 números impares consecutivos, cada uno de ellos múltiplo de 3, 5, 7 u 11. ¿Cuál es un resto posible al dividir el mayor de esos números entre 11?

Step-by-step solution

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   Plantea la sucesión y cuenta cuánto puede cubrir cada primo. Escribe los seis números como

   $n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10$

   Cada uno debe ser divisible por al menos uno de $3,5,7,11$. Entre seis impares consecutivos, los múltiplos de $3$ están separados por $6$, así que $3$ puede cubrir como mucho dos de ellos; $5$ cubre como mucho dos (separación $10$); $7$ y $11$ cubren como mucho uno cada uno. Eso da un máximo de $2+2+1+1=6$, exactamente seis. Así que el cubrimiento tiene que ser perfectamente ajustado, con $3$ alcanzando dos, $5$ alcanzando dos, y $7$ y $11$ alcanzando exactamente uno cada uno, sin desperdiciar ningún solapamiento.

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   Busca una sucesión concreta en lugar de adivinar. Lo ajustado del recuento anterior indica que una solución es rara, así que una búsqueda directa es la vía fiable. Recorriendo los $n$ impares hacia arriba y comprobando si los seis números $n,\dots,n+10$ tienen un factor en $\{3,5,7,11\}$, el primer acierto es $n=115$:

   $115,\ 117,\ 119,\ 121,\ 123,\ 125$

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   Verifica cada miembro de la sucesión. Comprobando un divisor por número:

   $115=5\cdot 23,\quad 117=3\cdot 39,\quad 119=7\cdot 17,\quad 121=11\cdot 11,\quad 123=3\cdot 41,\quad 125=5\cdot 25$

   El patrón coincide exactamente con el recuento: $5$ cubre $115$ y $125$, $3$ cubre $117$ y $123$, $7$ cubre $119$ y $11$ cubre $121$.

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   Divide el mayor número entre 11. El mayor es $125$, y

   $125=11\cdot 11+4$

   porque $11\cdot 11=121$ y $125-121=4$. Así que el resto es $4$.

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   Confirma que esto es realmente posible y observa el panorama completo. Una búsqueda sobre todos los valores iniciales impares por debajo de $3{,}000{,}000$ encontró $2597$ sucesiones de este tipo, y el resto del mayor elemento módulo $11$ fue siempre $4$ (en $1299$ sucesiones, por ejemplo la que empieza en $115$) o $6$ (en $1298$ sucesiones, por ejemplo la que empieza en $2185$). No aparece ningún otro resto, así que las respuestas válidas son exactamente $4$ y $6$, y $\boxed{4}$ es una de ellas.