Sea X = {5, 6, ..., 200}. ¿Cuántos elementos de X son divisibles entre 2 o entre 5?

Step-by-step solution

1. 1

   Elige inclusión–exclusión y lee el «o» de forma inclusiva. Sea $A$ el conjunto de los múltiplos de $2$ en $X$ y $B$ el de los múltiplos de $5$. «Divisible entre $2$ o entre $5$» significa $A\cup B$, y

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   La resta importa: números como $10$, $20$, $30$ están en las dos listas y no deben contarse dos veces.

2. 2

   Cuenta los múltiplos de 2. Usa $\big\lfloor \tfrac{200}{2}\big\rfloor-\big\lfloor \tfrac{4}{2}\big\rfloor$: los múltiplos hasta $200$ menos los que hay hasta $4$ (los números por debajo del inicio del rango):

   $|A|=100-2=98$

   (Los excluidos son $2$ y $4$; la lista va $6,8,\ldots,200$.)

3. 3

   Cuenta los múltiplos de 5.

   $|B|=\left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{5}\right\rfloor=40-0=40$

   (La lista es $5,10,\ldots,200$, y el propio $5$ está dentro del rango.)

4. 4

   Cuenta la parte común. Un número divisible a la vez entre $2$ y entre $5$ es divisible entre $\operatorname{lcm}(2,5)=10$:

   $|A\cap B|=\left\lfloor\frac{200}{10}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{10}\right\rfloor=20-0=20$

5. 5

   Aplica la fórmula.

   $|A\cup B|=98+40-20=118$

   $\boxed{118}$

6. 6

   Contrasta con el complemento. El conjunto $X$ tiene $200-5+1=196$ elementos. Los números coprimos con $10$ dentro de un bloque de $10$ enteros consecutivos son $4$ (los que terminan en $1,3,7,9$); de $5$ a $200$ hay $19$ decenas completas, de $11$ a $200$, menos... más sencillo aún: la cantidad de números terminados en $1,3,7,9$ entre $5$ y $200$ es $78$ (a partir de $7,9$ y después cuatro por decena en las $19$ decenas de $11$ a $200$: $2+4\times 19=78$). Entonces $196-78=118$, lo que coincide.