Un grupo de danza tiene entre 24 y 44 integrantes. Formados en filas de 5 no sobra nadie, y formados en filas de 7 sobran 2 personas. ¿Cuántos integrantes tiene el grupo?

Step-by-step solution

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   Traduce las dos condiciones a congruencias. «Filas de $5$ sin que sobre nadie» significa que la cantidad $n$ cumple $n\equiv0\pmod 5$. «Filas de $7$ con $2$ que sobran» significa $n\equiv2\pmod 7$. Junto con $24\le n\le44$, estas condiciones determinan $n$ por completo — dos congruencias con módulos coprimos tienen una solución por cada $35$ enteros consecutivos, y el rango abarca $21$.

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   Enumera los candidatos a partir de la condición más restrictiva y más fácil. Múltiplos de $5$ entre $24$ y $44$:

   $25,\ 30,\ 35,\ 40$

   Empezar por la condición de divisibilidad en lugar de la del resto mantiene corta la lista — solo cuatro números que probar en vez de seis.

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   Prueba cada uno con la división entre $7$.

   $25=7\cdot3+4,\qquad 30=7\cdot4+2\ \checkmark,\qquad 35=7\cdot5+0,\qquad 40=7\cdot5+5$

   Solo $30$ deja resto $2$.

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   Confirma la unicidad. Por el teorema chino del resto, el par $n\equiv0\pmod5$, $n\equiv2\pmod7$ tiene una única solución módulo $35$, a saber $n\equiv30\pmod{35}$. Los siguientes candidatos son $30-35=-5$ y $30+35=65$, ambos fuera de $[24,44]$, así que $30$ es la única respuesta.

5. 5

   Contrasta con el enunciado original. $30\div5=6$ filas exactas, sin que sobre nadie ✓. $30\div7=4$ filas de siete con $30-28=2$ personas que sobran ✓. Las dos condiciones se cumplen y $30$ está dentro del rango indicado, así que la respuesta es la opción A.