Las cifras de un número de cuatro dígitos múltiplo de 5 se escriben en orden inverso y dan un segundo número de cuatro dígitos. Al restar el segundo del primero se obtiene 1359. Halla uno de esos números originales.

Step-by-step solution

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   Escribe los dos números en forma de valor posicional. Sea el original $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$; su invertido es $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$. Al restar,

   $N-N_{\text{inv}}=999(a-d)+90(b-c).$

   Todo problema de este tipo se reduce a esa única identidad.

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   Determina la cifra de las unidades. $N$ es múltiplo de $5$, así que $d\in\{0,5\}$. Pero el invertido también tiene que ser un número de cuatro cifras, de modo que su primera cifra $d$ no puede ser $0$. Por lo tanto

   $d=5.$

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   Resuelve la identidad para las diferencias de cifras. Hace falta que $999(a-d)+90(b-c)=1359$. Probando $a-d=1$ queda $90(b-c)=1359-999=360$, así que $b-c=4$: un par válido de diferencias de cifras. Probando $a-d=2$ queda $90(b-c)=1359-1998=-639$, que no es múltiplo de $90$; los valores mayores se pasan todavía más. Así que $a-d=1$ y $b-c=4$ quedan forzados.

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   Arma las cifras. Con $d=5$ y $a=d+1=6$, y con $b-c=4$ estando ambas cifras entre $0..9$, las posibilidades son $(b,c)=(4,0),(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)$:

   $6405,\ 6515,\ 6625,\ 6735,\ 6845,\ 6955.$

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   Comprueba uno y observa el patrón. $6405-5046=1359$ ✓, y $6955-5596=1359$ ✓. Un barrido exhaustivo de todos los múltiplos de $5$ de cuatro cifras confirma que estos seis son la lista completa; cualquiera de ellos responde a la pregunta.