Evaluar el mayor entero menor o igual que 100000 por 32 dividido entre (4 ln 2 + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Interpretar el corchete como la función parte entera. En esta notación $[\,\cdot\,]$ significa el mayor entero que no supera al valor, así que la tarea es calcular un cociente y luego truncar hacia abajo. Toda la dificultad está en decidir correctamente la parte entera, lo que exige saber qué tan cerca de un entero queda el cociente.

2. 2

   Reducir el numerador. $100000\times32=3{,}200{,}000$, así que hace falta

   $\left\lfloor\frac{3{,}200{,}000}{4\ln 2+3}\right\rfloor$

3. 3

   Evaluar el denominador con precisión suficiente. Con $\ln 2=0.69314718055994531$,

   $4\ln 2=2.77258872223978124,\qquad 4\ln2+3=5.77258872223978124$

   Truncar $\ln2$ a tres decimales desplazaría el cociente en unos $\pm 200$, algo demasiado burdo para una parte entera; por eso hacen falta diez dígitos o más.

4. 4

   Dividir.

   $\frac{3{,}200{,}000}{5.77258872223978124}=554{,}344.0134010431$

5. 5

   Tomar la parte entera y confirmar el margen. La parte fraccionaria es $0.0134$, así que el piso es $554{,}344$. El resultado queda realmente cerca de la frontera: al multiplicar de vuelta, $554{,}344\times5.77258872224=3{,}199{,}999.923$, que queda justo por debajo de $3{,}200{,}000$, mientras que $554{,}345\times5.77258872224=3{,}200{,}005.70$ se pasa ✓. Así que $554{,}344$ es correcto y $554{,}345$ no lo es.