Desarrolla y simplifica la raíz cuadrada de 2 por (la raíz cuadrada de 7 más 6 por la raíz cuadrada de 72).

Step-by-step solution

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   Distribuye el radical de fuera sobre los dos términos. $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt2\cdot\sqrt7 + \sqrt2\cdot6\sqrt{72}.$ El coeficiente $6$ simplemente se arrastra; solo los radicales se combinan.

2. 2

   Multiplica el primer par de radicales. Usando $\sqrt a\,\sqrt b = \sqrt{ab}$ para $a,b$ no negativos: $\sqrt2\cdot\sqrt7 = \sqrt{14}.$ Como $14 = 2\cdot7$ no tiene factores cuadrados, $\sqrt{14}$ ya está en su forma radical más simple.

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   Multiplica el segundo par - y observa que se vuelve racional. $\sqrt2\cdot\sqrt{72} = \sqrt{144} = 12,$ porque $2\cdot72 = 144$ es un cuadrado perfecto. Esto es lo que busca el ejercicio: un término se queda irracional y el otro no.

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   Aplica el coeficiente. $6 \cdot 12 = 72$, así que el segundo término es el entero $72$.

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   Arma la respuesta. $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt{14}+72 = 72+\sqrt{14}.$ Los dos términos no son semejantes (uno racional y el otro un radical), así que no se pueden combinar más.

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   Comprueba numéricamente. $\sqrt2 \approx 1.414214$, $\sqrt7 \approx 2.645751$, $\sqrt{72} \approx 8.485281$, así que la expresión original vale $1.414214(2.645751+50.911688) \approx 75.741657$; y $72+\sqrt{14} \approx 72+3.741657 = 75.741657$. Coinciden.

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   Fíjate en la ruta alternativa. Simplificar primero $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ convierte el segundo término en $\sqrt2\cdot36\sqrt2 = 36\cdot2 = 72$ - el mismo resultado con aún menos aritmética.