Calcula (216 × 6⁻⁵)³ × (36⁻²)⁻¹.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe cada número como potencia de una misma base. Todos los números involucrados son potencias de $6$:

   $216=6^{3},\qquad 36=6^{2}$

   Una vez que todo comparte la base, solo queda aritmética de exponentes: nunca hay que calcular números grandes.

2. 2

   Simplifica dentro del primer paréntesis. Al multiplicar potencias se suman los exponentes:

   $216\cdot 6^{-5}=6^{3}\cdot 6^{-5}=6^{3-5}=6^{-2}$

3. 3

   Eleva al cubo. Una potencia de una potencia multiplica los exponentes:

   $\left(6^{-2}\right)^{3}=6^{-6}$

4. 4

   Simplifica el segundo factor. De nuevo los dos exponentes anidados se multiplican, y los dos signos menos dan un más:

   $\left(36^{-2}\right)^{-1}=36^{2}=\left(6^{2}\right)^{2}=6^{4}$

5. 5

   Multiplica los dos resultados.

   $6^{-6}\cdot 6^{4}=6^{-2}=\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}$

   $\boxed{\dfrac{1}{36}}$

6. 6

   Comprueba numéricamente. $216\cdot 6^{-5}=\tfrac{216}{7776}=\tfrac{1}{36}$; al elevar al cubo queda $\tfrac{1}{46656}$; y $\left(36^{-2}\right)^{-1}=1296$. Entonces $\tfrac{1296}{46656}=\tfrac{1}{36}$ ✓ — la misma respuesta, pero con números intermedios mucho mayores, que es exactamente por lo que conviene el camino de la base única.