Derivada vs diferencial

La derivada y el diferencial son objetos matemáticos estrechamente relacionados pero distintos, y confundirlos es el origen de muchos errores sutiles en cálculo.

Derivada

La derivada $f'(x)$ (o $\frac{dy}{dx}$) es una función que da la tasa de cambio de $f$ en cada $x$. Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Numéricamente: en $x = 3$, $f'(3) = 6$, la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Diferencial

El diferencial $dy$ es un cambio infinitesimal en $y$ correspondiente a un cambio infinitesimal $dx$ en $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Para $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

Los diferenciales permiten escribir las derivadas como razones de infinitesimales: útil en la sustitución (sustitución $u$ en integrales: $du = u'(x) dx$) y en la separación de variables de ecuaciones diferenciales.

Cuándo importa la diferencia

En integrales: $\int 2x \, dx$ usa el diferencial $dx$, no la derivada.

En la derivación implícita: a partir de $x^2 + y^2 = 25$, toma diferenciales: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, y luego despeja $\frac{dy}{dx}$.

En física: $dW = F \, dx$ (trabajo como diferencial), no "el trabajo es igual a la derivada de la fuerza".

Aproximación lineal

$dy$ también sirve como aproximación lineal de $\Delta y$ (el cambio real) para $dx$ pequeño:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Esta es la base de la propagación de errores, el método de Newton y el fundamento de aproximación lineal de todo el cálculo.

Veredicto

Usa la derivada $f'(x)$ cuando quieras una tasa / función. Usa el diferencial $dy = f'(x) dx$ cuando quieras un cambio infinitesimal, especialmente en integrales, sustitución o EDs.