Kit de supervivencia de identidades trigonométricas

Existen docenas de identidades trigonométricas, pero en la práctica solo necesitas memorizar alrededor de una docena —el resto se puede deducir en segundos a partir de esas. Esta página es el kit de supervivencia: cada identidad que se gana su lugar, con ejemplos breves resueltos para cada una.

El trío pitagórico

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

La primera es la identidad más usada de toda la matemática. Las otras dos se obtienen dividiendo entre $\cos^2$ o $\sin^2$.

Fórmulas de suma y diferencia

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Regla mnemotécnica para el coseno: "cos cos menos sin sin" con signo opuesto —el seno es "sin cos más cos sin" con signo igual.

Fórmulas del ángulo doble

Sustituye $\alpha = \beta = \theta$ en las fórmulas de suma:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Existen tres formas de la versión del coseno gracias a la identidad pitagórica. Elige la que coincida con el resto de tu expresión.

Fórmulas del ángulo mitad

Despejar $\sin^2$ y $\cos^2$ en el ángulo doble del coseno da:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Estas son las identidades de reducción de potencia —son la razón por la que $\int \sin^2 x \, dx$ se vuelve elemental.

Ejemplo resuelto: simplificación

Simplifica $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Numerador: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Denominador: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Cociente: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Toda la expresión enmarañada se reduce a $\tan x$.

Errores comunes

• Errores de signo en las fórmulas de suma —escribe la fórmula entera, no confíes en la memoria a mitad del problema.
• $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$, no $\sin(\sin\theta)$.
• Olvidar que $2\theta$ es el ángulo, no 2 veces el valor —$\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, no $2\sin 30°$.

Pruébalo con el Solucionador de trigonometría con IA

El Solucionador de trigonometría toma cualquier expresión y aplica todas estas identidades para simplificarla o resolverla.

Referencias relacionadas:

• Calculadora de simplificación —las mismas ideas de simplificación, con sabor polinómico
• Calculadora de integrales —la reducción de potencia es crítica para las integrales trigonométricas
• Calculadora de series —los desarrollos de Taylor de sin y cos usan estas directamente