Tasas relacionadas: una estrategia repetible de 6 pasos

Los problemas de tasas relacionadas suenan abstractos —"una escalera se desliza por una pared, ¿con qué rapidez cae la parte superior?"— pero todos siguen el mismo patrón de seis pasos. Domina la receta y estos problemas pasan de aterradores a mecánicos.

La receta de 6 pasos

1. Lee el problema dos veces e identifica cada cantidad. Haz un esquema.
2. Etiqueta con letras las cantidades que cambian; con números las constantes.
3. Encuentra una ecuación que relacione las cantidades cambiantes (geometría, Pitágoras, triángulos semejantes, área, volumen…).
4. Deriva ambos lados respecto al tiempo $t$ implícitamente. Cada cantidad cambiante aporta un término $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Sustituye los valores de la instantánea solo después de derivar. Sustituir demasiado pronto destruye la información de la tasa.
6. Despeja la tasa desconocida y verifica las unidades.

Ejemplo 1: la escalera que se desliza

Una escalera de 13 pies se apoya en una pared. Su base se desliza hacia afuera a 2 pies/s. ¿Con qué rapidez se desliza hacia abajo la parte superior cuando la base está a 5 pies de la pared?

1. Variables: $x$ = distancia de la base, $y$ = altura de la parte superior. Ambas cambian con $t$.
2. Restricción: $x^2 + y^2 = 169$ (Pitágoras —la longitud de la escalera es constante).
3. Deriva: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Instantánea: $x = 5$, así que $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. Dado $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Despeja: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ pies/s.

La parte superior cae a $5/6$ pies/s. El signo negativo significa que la altura disminuye —la comprobación de cordura pasa.

Ejemplo 2: el cono llenándose de agua

El agua entra en un cono (con el vértice hacia abajo) a $3 \text{ pies}^3/\text{min}$. El cono tiene 10 pies de altura y 4 pies de radio superior. ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 6 pies?

1. Variables: $V$ = volumen de agua, $h$ = profundidad del agua, $r$ = radio de la superficie del agua.
2. Volumen del cono: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Usa triángulos semejantes: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Sustituye a una variable: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Deriva: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Sustituye $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Despeja: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ pies/min.

Errores comunes

• Sustituir números demasiado pronto —las derivadas "congelan" la relación; pierdes información sobre cómo cambian las cosas.
• Olvidar la regla de la cadena al derivar algo como $r^2$ —se convierte en $2r \frac{dr}{dt}$, no $2r$.
• No eliminar variables extra con triángulos semejantes antes de derivar.

Pruébalo con el Solucionador de derivadas con IA

Usa la Calculadora de derivadas para verificar cualquier paso de derivación de tasas relacionadas —en particular los implícitos.

Referencias relacionadas:

• Calculadora de límites —las derivadas son límites por debajo
• Calculadora de integrales —el complemento de la antiderivada
• Solucionador de triángulos —para el planteamiento geométrico de muchos problemas