Trigonometrie-Rechner

Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, die trigonometrische Funktionen ($\sin$, $\cos$, $\tan$ usw.) eines unbekannten Winkels enthält. Das Ziel ist, alle Werte des Winkels zu finden, die die Gleichung erfüllen.

Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, haben die meisten trigonometrischen Gleichungen unendlich viele Lösungen. Wir geben Lösungen oft in zwei Formen an:

1. Hauptlösungen: Lösungen in einem bestimmten Intervall, typischerweise $[0, 2\pi)$ oder $[0°, 360°)$
2. Allgemeine Lösungen: Alle Lösungen, geschrieben mit $+ 2n\pi$ (oder $+ 360°n$), wobei $n$ eine beliebige ganze Zahl ist

Zum Beispiel hat $\sin x = \frac{1}{2}$ die Hauptlösungen $x = \frac{\pi}{6}$ und $x = \frac{5\pi}{6}$ sowie die allgemeinen Lösungen $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ und $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$.

Wichtige Identitäten, die beim Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden:

• Pythagoras: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Doppelwinkel: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
• Summe-zu-Produkt- und Produkt-zu-Summe-Formeln

Methode 1: Isolierung und Umkehrfunktionen

Isoliere bei einfachen Gleichungen die Trigonometriefunktion und wende die Umkehrung an:

$\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ und } x = \pi - \arcsin(a)$

$\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)$

$\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi$

Methode 2: Faktorisierung

Wenn die Gleichung faktorisiert werden kann:

$\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0$

Also $\sin x = 0$ oder $\sin x = 1$, was $x = 0, \pi, \frac{\pi}{2}$ in $[0, 2\pi)$ ergibt.

Methode 3: Identitäten zur Vereinfachung nutzen

Ersetze komplexe Ausdrücke mithilfe von Identitäten:

Beispiel: Löse $\cos 2x = \cos x$

Mit $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

Also $\cos x = -\frac{1}{2}$ oder $\cos x = 1$.

Methode 4: Substitution

Substituiere bei Gleichungen mit mehreren Trigonometriefunktionen $t = \sin x$ oder $t = \cos x$:

$2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$

Mit $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$ → $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Methode 5: Beide Seiten quadrieren (mit Überprüfung)

Manchmal nützlich, aber überprüfe die Lösungen immer, da das Quadrieren Scheinlösungen einführen kann.

Übersicht der Referenzwinkel

Vergleich der Methoden

• Periodische Lösungen vergessen: $\sin x = 0.5$ hat zwei Lösungen pro Periode, nicht eine. Berücksichtige immer alle Quadranten, in denen die Funktion das gegebene Vorzeichen hat.
• Durch eine Trigonometriefunktion teilen: Das Teilen durch $\sin x$ oder $\cos x$ kann Lösungen verlieren, bei denen diese Funktion null ist. Faktorisiere stattdessen.
• Scheinlösungen nicht prüfen: Wenn du beide Seiten quadrierst, setze immer zurück ein, um zu überprüfen. Quadrieren kann falsche Lösungen einführen.
• Grad und Bogenmaß verwechseln: Achte auf Konsistenz. $\sin(30) \neq \sin(30°)$ in den meisten Taschenrechnern und Programmierkontexten.
• Definitionsbereich-Einschränkungen ignorieren: $\sin x = 2$ hat keine reellen Lösungen, da $-1 \leq \sin x \leq 1$.