Sin-Cos-Tan-Rechner

Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen — Sinus, Kosinus und Tangens — verknüpfen Winkel mit Seitenverhältnissen in einem rechtwinkligen Dreieck:

$\sin\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Auf dem Einheitskreis (Radius 1, im Ursprung zentriert) gilt für einen Winkel $\theta$, der von der positiven $x$-Achse gemessen wird:

• $\cos\theta$ = $x$-Koordinate des Punktes
• $\sin\theta$ = $y$-Koordinate des Punktes
• $\tan\theta$ = Steigung des Endstrahls

Wichtige Eigenschaften:

• $\sin$ und $\cos$ haben den Wertebereich $[-1, 1]$ und die Periode $2\pi$
• $\tan$ hat den Wertebereich $(-\infty, \infty)$ und die Periode $\pi$
• $\tan\theta$ ist undefiniert, wenn $\cos\theta = 0$ (bei $\frac{\pi}{2} + n\pi$)

Die Kehrwertfunktionen sind:
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

Diese sechs Funktionen bilden die Grundlage der Trigonometrie und treten in der gesamten Mathematik, Physik, im Ingenieurwesen und in der Signalverarbeitung auf.

Methode 1: Einheitskreis (exakte Werte)

Präge dir die wichtigsten Winkel und ihre Koordinaten auf dem Einheitskreis ein:

Methode 2: Referenzwinkel

Für Winkel jenseits des ersten Quadranten:

1. Finde den Referenzwinkel (spitzer Winkel zur $x$-Achse)
2. Bestimme das Vorzeichen aus dem Quadranten (ASTC-Regel: Alle, Sin, Tan, Cos)

ASTC-Regel — welche Funktionen positiv sind:

• Quadrant I (0° bis 90°): Alle positiv
• Quadrant II (90° bis 180°): Sin positiv
• Quadrant III (180° bis 270°): Tan positiv
• Quadrant IV (270° bis 360°): Cos positiv

Beispiel: $\sin(150°)$ — Referenzwinkel ist $180° - 150° = 30°$. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv: $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Methode 3: Additions- und Subtraktionstheoreme

Zerlege bei nicht-standardisierten Winkeln in bekannte Winkel:

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Beispiel: $\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Methode 4: Graphische Transformationen

Für $y = A\sin(Bx + C) + D$:

• $|A|$ = Amplitude
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = Periode
• $-\frac{C}{B}$ = Phasenverschiebung
• $D$ = vertikale Verschiebung

Vergleich: Wann welche Methode verwenden

• Falsches Quadrantenvorzeichen: $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, nicht $+\frac{1}{2}$. Prüfe immer, welcher Quadrant das Vorzeichen bestimmt.
• Grad und Bogenmaß verwechseln: $\sin(\pi) = 0$ (Bogenmaß), aber $\sin(180) \approx -0.80$, wenn als 180 Bogenmaß interpretiert. Bleibe bei den Einheiten konsistent.
• Vergessen, dass tan undefiniert ist: $\tan(90°)$ und $\tan(270°)$ sind undefiniert (senkrechte Asymptoten), nicht null oder unendlich.
• Das Additionstheorem falsch anwenden: $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$. Du musst die korrekte Entwicklung verwenden.
• Referenzwinkelfehler: Der Referenzwinkel wird immer zur $x$-Achse gemessen (nicht zur $y$-Achse) und ist immer positiv und spitz.