z-Wert-Rechner

Ein z-Wert (auch Standardwert genannt) misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

wobei $x$ der Rohwert, $\mu$ der Populationsmittelwert und $\sigma$ die Populationsstandardabweichung ist.

Interpretation:

• $z = 0$: Der Wert entspricht dem Mittelwert.
• $z = 1$: eine Standardabweichung über dem Mittelwert.
• $z = -2$: zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
• $|z| > 2$ gilt konventionell als 'ungewöhnlich'; $|z| > 3$ als 'extrem'.

Warum standardisieren?

• Vergleichbarkeit: z-Werte erlauben es, Werte aus verschiedenen Verteilungen zu vergleichen (z. B. bedeutet ein $z = 1.5$ in einem Mathe-Test und ein $z = 1.5$ in einem Sprach-Test dieselbe relative Leistung).
• Wahrscheinlichkeitsbestimmung: Wenn die zugrunde liegende Verteilung näherungsweise normal ist, bildet $z$ über die Standardnormal-Verteilungsfunktion $\Phi(z)$ direkt auf eine Wahrscheinlichkeit ab.
• Ausreißererkennung: Ein großes $|z|$ markiert potenzielle Ausreißer.

Stichprobenversion: Wenn man mit Stichprobendaten arbeitet, ersetze $\mu$ durch $\bar{x}$ und $\sigma$ durch $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Schritt für Schritt

1. Bestimme den Wert $x$, den Mittelwert $\mu$ (oder $\bar{x}$) und die Standardabweichung $\sigma$ (oder $s$).
2. Subtrahiere den Mittelwert: $x - \mu$.
3. Teile durch die Standardabweichung: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Umkehrung: $x$ aus $z$ finden

$x = \mu + z\sigma$

Nützlich, wenn ein Perzentil gegeben ist und der entsprechende Rohwert gesucht wird.

Wahrscheinlichkeit über die Standardnormalverteilung

Für eine normalverteilte Variable $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ folgt die standardisierte Variable $Z = (X - \mu)/\sigma$ der Standardnormalverteilung $N(0, 1)$.

Häufige Wahrscheinlichkeiten:

Symmetrie: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Empirische Regel (68-95-99,7)

Für eine Normalverteilung:

• ~68% der Werte liegen innerhalb von $\pm 1\sigma$ um den Mittelwert.
• ~95% innerhalb von $\pm 2\sigma$.
• ~99,7% innerhalb von $\pm 3\sigma$.

Dies ist die Grundlage für Konfidenzintervalle und viele schnelle Schätzungen.

Kritische z-Werte für Konfidenzintervalle

Dies sind die Werte $z^*$, sodass $P(-z^* < Z < z^*) =$ Konfidenzniveau.

• Falsche Reihenfolge: $z = (x - \mu)/\sigma$, nicht $(\mu - x)/\sigma$. Den Mittelwert an zweiter Stelle zu setzen kehrt das Vorzeichen um.
• Varianz statt Standardabweichung verwenden: teile durch $\sigma$, nicht durch $\sigma^2$. Ein Wert 'eine Varianz entfernt' ist bedeutungslos — du willst eine Standardabweichung.
• Stichprobe vs. Population: Nutze bei Stichprobendaten $\bar{x}$ und $s$. Bei bekannten Parametern nutze $\mu$ und $\sigma$. Sie zu vermengen bläht z-Werte auf oder verkleinert sie.
• Normalität ohne Prüfung annehmen: z-Werte können für jede Verteilung berechnet werden, aber die Wahrscheinlichkeitsbestimmung $\Phi(z)$ gilt nur, wenn die zugrunde liegende Verteilung normal ist (oder näherungsweise durch den ZGS).
• Das Vorzeichen vergessen: $z = -2$ bedeutet 'unter dem Mittelwert'. $z = 2$ zu berichten stellt die Richtung falsch dar.
• Einseitige und zweiseitige Wahrscheinlichkeiten verwechseln: $P(|Z| > 2)$ ist beide Schwänze zusammen ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ ist ein Schwanz ($\approx 0.0228$). Lies die Frage sorgfältig.