p-Wert-Rechner

Ein p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, Testergebnisse zu beobachten, die so extrem oder extremer sind als die tatsächlichen Ergebnisse — unter der Annahme, dass die Nullhypothese $H_0$ wahr ist.

Formal, für eine Teststatistik $T$ mit beobachtetem Wert $t$:

• Rechtsseitig: $p = P(T \geq t \mid H_0)$
• Linksseitig: $p = P(T \leq t \mid H_0)$
• Zweiseitig: $p = 2 \cdot P(T \geq |t| \mid H_0)$

Interpretation: Ein kleiner p-Wert bedeutet, dass die beobachteten Daten überraschend wären, wenn $H_0$ wahr wäre, also haben wir Belege gegen $H_0$. Ein großer p-Wert bedeutet, dass die Daten mit $H_0$ vereinbar sind — beweist aber nicht, dass $H_0$ wahr ist.

Entscheidungsregel: Vergleiche $p$ mit einem vorab gewählten Signifikanzniveau $\alpha$ (typischerweise 0,05):

• $p < \alpha$ → $H_0$ verwerfen ('statistisch signifikant')
• $p \geq \alpha$ → $H_0$ nicht verwerfen (nicht genügend Belege)

Was der p-Wert NICHT ist:

• Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ wahr ist.
• Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Alternative $H_1$ wahr ist.
• Er ist kein Maß für die Effektgröße.
• Er unterscheidet nicht 'praktische Signifikanz' von 'statistischer Signifikanz'.

Schritt für Schritt

1. Stelle die Hypothesen $H_0$ und $H_1$ auf.
2. Wähle einen Test, der für die Daten geeignet ist (z-Test, t-Test, Chi-Quadrat, F-Test, ...).
3. Berechne die Teststatistik aus den Daten.
4. Bestimme die Schwänze anhand von $H_1$: rechtsseitig ($>$), linksseitig ($<$) oder zweiseitig ($\neq$).
5. Finde den p-Wert aus der Verteilung des Tests.
6. Vergleiche mit $\alpha$ und schließe.

p-Werte aus einer z-Statistik

Für eine standardnormalverteilte $Z$:

• Rechtsseitig: $p = 1 - \Phi(z)$
• Linksseitig: $p = \Phi(z)$
• Zweiseitig: $p = 2(1 - \Phi(|z|))$

Schnellreferenz: $z = 1.96$ → zweiseitig $p \approx 0.05$. $z = 2.576$ → zweiseitig $p \approx 0.01$.

p-Werte aus einer t-Statistik

Nutze die t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden (oder wie vom Test vorgegeben). Gleiche Schwanz-Logik wie bei z, aber die Verteilung hat bei kleinen Freiheitsgraden etwas schwerere Schwänze.

p-Werte aus einer Chi-Quadrat-Statistik

Chi-Quadrat-Tests sind von Natur aus rechtsseitig, da $\chi^2 \geq 0$ und größere Werte eine schlechtere Anpassung an $H_0$ anzeigen:

$p = P(\chi^2_{df} \geq \text{beobachtet})$

Einseitig vs. zweiseitig: Welcher ist zu verwenden?

• Zweiseitig: wenn dich eine Abweichung von $H_0$ in beide Richtungen interessiert. Standard in den meisten akademischen Kontexten.
• Einseitig: wenn die Alternativhypothese gerichtet und vorab festgelegt ist ($H_1: \mu > 0$, nicht $\mu \neq 0$). Halbiert den p-Wert, wenn die Richtung übereinstimmt.

Wähle den Schwanz nie nach dem Betrachten der Daten — das ist p-Hacking.

Häufige Signifikanzschwellen

Die American Statistical Association hat davor gewarnt, $\alpha = 0.05$ als scharfe Grenze zu behandeln — Kontext und Effektgröße sind wichtiger als das Überschreiten einer Schwelle.

• 'Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ wahr ist': FALSCH. Der p-Wert wird unter der Annahme berechnet, dass $H_0$ wahr ist; er misst nicht, wie wahrscheinlich $H_0$ ist.
• $p = 0.049$ und $p = 0.051$ als grundlegend verschieden behandeln: Sind sie nicht. Die 0,05-Schwelle ist eine Konvention, kein Phasenübergang.
• Den Schwanz nach dem Betrachten der Daten wählen: Wenn du $z = -2$ siehst und zu einem linksseitigen Test wechselst, hast du deine Falsch-Positiv-Rate verdoppelt. Lege es vorab fest.
• Signifikanz mit Effektgröße verwechseln: Ein winziger Effekt mit einer riesigen Stichprobe kann 'hochsignifikant' sein, aber praktisch irrelevant. Berichte immer Effektgrößen zusammen mit p-Werten.
• Inflation bei multiplen Vergleichen: Führt man 20 Tests bei $\alpha = 0.05$ durch, ist ein Falsch-Positiv zufällig zu erwarten. Nutze Bonferroni- oder FDR-Korrekturen.
• '$p > 0.05$ beweist $H_0$': NEIN. Nicht-Verwerfen ist nicht dasselbe wie Akzeptieren. Es bedeutet nur, dass die Daten bei diesem Stichprobenumfang nicht genug Belege gegen $H_0$ haben.