Rechner für Konfidenzintervalle

Ein Konfidenzintervall (KI) ist ein Bereich plausibler Werte für einen unbekannten Populationsparameter, der aus Stichprobendaten konstruiert wird. Ein 95%-Konfidenzintervall bedeutet: Wenn du das Stichprobenverfahren viele Male wiederholst, würden etwa 95% der konstruierten Intervalle den wahren Parameter enthalten.

Wichtig: Die 95% beziehen sich auf das Verfahren, nicht auf ein einzelnes berechnetes Intervall. Sobald ein Intervall aus Daten konstruiert ist, enthält es den wahren Parameter entweder oder nicht — aber wir wissen nicht, welches der Fall ist.

Kernstruktur: Jedes Konfidenzintervall hat die Form

$\text{Schätzwert} \pm \text{Stichprobenfehler}$

Der Schätzwert ist die Stichprobenstatistik ($\bar{x}$ oder $\hat{p}$). Der Stichprobenfehler ist ein kritischer Wert mal dem Standardfehler des Schätzwerts.

Konfidenzintervalle erscheinen in:

• Wahlumfragen ('52% Zustimmung, $\pm 3\%$ Stichprobenfehler')
• Medizinischen Studien (KI für Effektgrößen)
• Qualitätskontrolle (mittlere Fehlerquoten)
• Immer, wenn du die Unsicherheit einer Schätzung quantifizieren willst, statt nur einen Punktwert anzugeben.

KI für einen Populationsmittelwert (z-Intervall)

Wenn die Populationsstandardabweichung $\sigma$ bekannt ist und die Stichprobenverteilung näherungsweise normal ist (großes $n$ oder normalverteilte Population):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

wobei $z^*$ der kritische Wert für das gewählte Konfidenzniveau ist.

KI für einen Populationsmittelwert (t-Intervall)

Wenn $\sigma$ unbekannt ist (du hast nur $s$, die Stichprobenstandardabweichung) — in der Praxis viel häufiger:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Der kritische Wert $t^*$ stammt aus der t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden. Für großes $n$ ($\geq 30$) gilt $t^* \approx z^*$, und die beiden Intervalle sind sehr ähnlich.

KI für einen Populationsanteil

Für einen Stichprobenanteil $\hat{p} = x/n$ (wobei $x$ die Anzahl der Erfolge ist):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Gültig, wenn $n\hat{p} \geq 10$ und $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (Erfolg-Misserfolg-Bedingung).

Kritische Werte

Stichprobenfehler

$\text{SF} = (\text{kritischer Wert}) \times (\text{Standardfehler})$

Eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ verringert den Standardfehler (und damit den Stichprobenfehler) um den Faktor $\sqrt{n}$. Eine Vervierfachung von $n$ halbiert den Stichprobenfehler.

Wahl des Konfidenzniveaus

• Höhere Konfidenz = breiteres Intervall. Ein 99%-KI ist breiter als ein 95%-KI, das breiter ist als ein 90%-KI.
• 95% ist der Standard in den meisten akademischen und beruflichen Kontexten.
• 99%, wenn mehr auf dem Spiel steht (Medizin, Sicherheit); 90%, wenn ein engerer Punktschätzwert wichtiger ist als die Abdeckung.

• Die 95% falsch deuten: 'Es besteht eine 95%-Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert in diesem Intervall liegt' ist falsch (frequentistisch). Die korrekte Aussage betrifft das Verfahren: 95% der ähnlich konstruierten Intervalle enthalten den wahren Parameter.
• z verwenden, wenn t angemessen ist: Bei unbekanntem $\sigma$ nutze $t^*$. $z^*$ zu verwenden unterschätzt die Unsicherheit, besonders bei kleinem $n$.
• $\sqrt{n}$ im Standardfehler vergessen: $\sigma/\sqrt{n}$, nicht $\sigma/n$.
• Falsche Richtung des kritischen Werts: $z^* = 1.96$ für 95% (zweiseitig), nicht das 95.-Perzentil $z = 1.645$. Der zweiseitige kritische Wert schneidet $\alpha/2$ in jedem Schwanz ab.
• Die Erfolg-Misserfolg-Bedingung für Anteile überspringen: Wenn $n\hat{p}$ oder $n(1-\hat{p}) < 10$, bricht die Normalapproximation zusammen — nutze ein exaktes (Clopper-Pearson) oder score-basiertes Intervall.
• KI mit Vorhersageintervall verwechseln: Ein 95%-KI schätzt den Mittelwert mit 95% Abdeckung. Ein Vorhersageintervall schätzt eine einzelne zukünftige Beobachtung — viel breiter.