Rechner für das Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine Abkürzung zum Dividieren eines Polynoms $p(x)$ durch einen Linearfaktor $x - k$. Es ist schneller als die schriftliche Division und liefert denselben Quotienten und Rest, nur mit weniger Schreibarbeit.

Gegeben $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ dividiert durch $x - k$, liefert das Horner-Schema:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

wobei $q(x)$ der Quotient (Grad $n - 1$) und $r$ der konstante Rest ist.

Wichtige Anwendungen:

1. Schnelle Polynomdivision, wenn der Divisor ein lineares $x - k$ ist.
2. $p(k)$ auswerten — nach dem Restsatz gilt $p(k) = r$, der Rest ist also genau der Funktionswert.
3. Polynome faktorisieren — wenn $r = 0$, dann ist $(x - k)$ ein Faktor und $q(x)$ liefert den Kofaktor.
4. Rationale Nullstellen finden, kombiniert mit dem Satz über rationale Nullstellen.

Aufbau

Um $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ durch $x - k$ zu dividieren:

1. Schreibe die Nullstelle des Divisors $k$ nach links.
2. Liste die Koeffizienten von $p(x)$ rechts auf, einschließlich Nullen für fehlende Terme.

Algorithmus

1. Hole den ersten Koeffizienten ($a_n$) unverändert herunter.
2. Multipliziere mit $k$ und schreibe das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten ($a_{n-1}$).
3. Addiere die Spalte. Schreibe die Summe in die untere Zeile.
4. Wiederhole: multipliziere diese Summe mit $k$, schreibe sie unter den nächsten Koeffizienten, addiere.
5. Fahre fort, bis du alle Koeffizienten abgearbeitet hast.

Das Ergebnis ablesen

Die untere Zeile enthält:

• Die ersten $n$ Einträge: Koeffizienten des Quotienten $q(x)$ (in absteigender Gradordnung).
• Den letzten Eintrag: den Rest $r$.

Beispiel: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Koeffizienten von $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Nullstelle des Divisors: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Quotient: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Rest: $5$.

Also $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Zusammenhang mit dem Restsatz

Der Rest $r$ in $p(x) = (x - k)q(x) + r$ ist gleich $p(k)$. Setze $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Das Horner-Schema ist also eine schnelle Methode, $p(k)$ auszuwerten, ohne einzusetzen.

Faktorsatz

Eine Folgerung: $(x - k)$ ist genau dann ein Faktor von $p(x)$, wenn $p(k) = 0$, also genau dann, wenn der Rest des Horner-Schemas $0$ ist.

• Fehlende Null-Platzhalter: Für $p(x) = x^3 - 4x + 5$ musst du eine $0$ für den fehlenden $x^2$-Term einfügen. Andernfalls verschieben sich die Spalten.
• Vorzeichenfehler bei $k$: Um durch $x - 2$ zu dividieren, nutze $k = 2$ (die Nullstelle des Divisors). Um durch $x + 3$ zu dividieren, nutze $k = -3$.
• Nicht direkt für $ax - k$-Divisoren verwendbar: Das Horner-Schema funktioniert wie gelehrt für $x - k$ (Leitkoeffizient 1). Für $ax - k$ klammere zuerst $a$ aus oder nutze die schriftliche Polynomdivision.
• Vergessen, den ersten Koeffizienten herunterzuholen: Der erste Schritt ist immer 'hole $a_n$ herunter' — multipliziere noch nichts.
• Den Quotienten falsch ablesen: Die ersten $n$ Einträge der unteren Zeile sind Koeffizienten, und der Grad sinkt um 1. Ein Polynom vom Grad 4 dividiert durch $x - k$ ergibt einen Quotienten vom Grad 3.