Rechner für die Steigungs-Achsenabschnitts-Form

Die Steigungs-Achsenabschnitts-Form einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist:

$y = mx + b$

wobei:

• $m$ die Steigung ist — wie steil die Gerade steigt oder fällt. Steigung $= \dfrac{\text{Höhenänderung}}{\text{horizontale Änderung}}$.
• $b$ der y-Achsenabschnitt ist — der $y$-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet (der Punkt $(0, b)$).

Warum diese Form besonders ist: Sie liefert zwei geometrische Informationen auf einen Blick — die Steigung und den y-Achsenabschnitt — ohne jede Berechnung. Im Gegensatz dazu verbirgt die Standardform $Ax + By = C$ beide.

Die Steigungs-Achsenabschnitts-Form ist die bevorzugte Arbeitsform zum Zeichnen von Geraden, zum Vergleichen von Parallel-/Senkrecht-Beziehungen und zum Aufstellen von Gleichungen aus einer Beschreibung.

Fall 1: Aus einer Gleichung in Standardform

Gegeben $Ax + By = C$, löse nach $y$ auf:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

Also $m = -A/B$ und $b = C/B$.

Fall 2: Aus zwei Punkten

Gegeben $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Nutze dann einen der Punkte, um nach $b$ aufzulösen:

$b = y_1 - m x_1$

Fall 3: Aus Steigung und einem Punkt

Gegeben die Steigung $m$ und ein Punkt $(x_0, y_0)$:

$b = y_0 - m x_0$

Fall 4: Aus einem Graphen

Lies den y-Achsenabschnitt direkt dort ab, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Wähle einen weiteren Gitterpunkt und zähle $\text{Höhenänderung} / \text{horizontale Änderung}$, um $m$ zu finden.

Sonderfälle

• Waagerechte Gerade $y = c$: Steigung $m = 0$, y-Achsenabschnitt $b = c$.
• Senkrechte Gerade $x = c$: Steigung ist nicht definiert. Kann nicht als $y = mx + b$ geschrieben werden.

Parallele und senkrechte Geraden

Zwei Geraden $y = m_1 x + b_1$ und $y = m_2 x + b_2$ sind:

• Parallel genau dann, wenn $m_1 = m_2$ (gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte)
• Senkrecht genau dann, wenn $m_1 m_2 = -1$ (negativ reziproke Steigungen)

• Vorzeichenfehler bei der Steigung: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. Subtrahiere die $y$-Werte in derselben Reihenfolge wie die $x$-Werte. Kehrt man eines um, das andere aber nicht, dreht sich das Vorzeichen.
• Durch null teilen: Wenn $x_1 = x_2$, ist die Gerade senkrecht — Steigung nicht definiert, es existiert keine Steigungs-Achsenabschnitts-Form.
• y-Achsenabschnitt mit x-Achsenabschnitt verwechseln: $b$ ist der y-Achsenabschnitt. Der x-Achsenabschnitt wird gefunden, indem man $y = 0$ setzt und nach $x$ auflöst.
• Vergessen, durch $B$ zu teilen: Beim Umwandeln von $Ax + By = C$ in die Steigungs-Achsenabschnitts-Form musst du jeden Term durch $B$ teilen, nicht nur den $y$-Term.
• Falsche Steigung der Senkrechten: Senkrecht bedeutet $m_1 m_2 = -1$, also $m_2 = -1/m_1$. Nur das Vorzeichen umzukehren oder nur den Kehrwert zu bilden reicht nicht aus.