Quadratische Ergänzung: eine Anleitung, bei der es endlich klick macht

Die quadratische Ergänzung ist einer dieser Algebra-Schritte, die Schüler einmal sehen und wieder vergessen. Doch sie ist die einzige Technik hinter der Mitternachtsformel, der Scheitelpunktform einer Parabel und mehreren gängigen Integralen der Analysis. Hast du den Trick einmal verinnerlicht, besitzt du ein Werkzeug, das du für immer nutzen wirst.

Die Kernidee

Das quadrierte Binom $(x + h)^2$ wird zu $x^2 + 2hx + h^2$ ausmultipliziert. Um einen beliebigen Ausdruck $x^2 + bx$ in ein vollständiges Quadrat zu verwandeln, musst du $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ addieren. Das ist der gesamte Trick.

Durchgerechnetes Beispiel: normierter Fall

Ergänze quadratisch bei $x^2 + 6x + 5$.

1. Nimm die Hälfte des linearen Koeffizienten: $b/2 = 3$.
2. Quadriere sie: $9$.
3. Schreibe um: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

Wir haben 9 addiert und 9 subtrahiert — netto null, aber die ersten drei Terme bilden nun ein vollständiges Quadrat.

Durchgerechnetes Beispiel: nicht normierter Fall

Ergänze quadratisch bei $2x^2 + 12x + 7$.

1. Klammere 2 aus den ersten beiden Termen aus: $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. Ergänze innerhalb der Klammer quadratisch: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. Setze zurück ein: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

Anwendung 1: quadratische Gleichungen lösen

Um $x^2 + 6x + 5 = 0$ zu lösen:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

Dasselbe Ergebnis wie mit der Mitternachtsformel, von Grund auf hergeleitet.

Anwendung 2: Scheitelpunkt einer Parabel

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ liegt in Scheitelpunktform $y = a(x - h)^2 + k$ vor. Der Scheitelpunkt liegt bei $(h, k) = (-3, -11)$, nach oben geöffnet (da $a > 0$). Das kannst du ohne Analysis ablesen.

Anwendung 3: Integration

Integrale wie $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ widersetzen sich dem direkten Angriff, geben aber der quadratischen Ergänzung nach: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$, dann substituiere $u = x + 2$, um einen Arkustangens zu erkennen.

Häufige Fehler

• Vergessen zu subtrahieren, was du addiert hast — der Ausdruck muss gleich sich selbst bleiben.
• Den Leitkoeffizienten nicht zuerst ausklammern in nicht normierten Fällen.
• Den falschen Koeffizienten halbieren — es ist der lineare Koeffizient $b$, nicht der Leitkoeffizient $a$.

Mit dem KI-Löser für quadratische Gleichungen ausprobieren

Der Löser für quadratische Gleichungen zeigt den Ansatz der quadratischen Ergänzung direkt neben der Mitternachtsformel.

Verwandte Verweise:

• Faktorisierungsrechner — der alternative Weg zu den Nullstellen
• Gleichungslöser — umfassenderer Werkzeugkasten zum Lösen von Gleichungen
• Integralrechner — für die obige Analysis-Anwendung