حاسبة الحجم

الحجم هو مقياس الحيز ثلاثي الأبعاد المحصور داخل شكل مصمت. يجيب عن السؤال: "ما مقدار الحيز الذي يشغله هذا الجسم؟" أو "كم يمكن أن تستوعب هذه الحاوية؟"

يُعبَّر عن الحجم بوحدات مكعبة (مثلًا، $\text{cm}^3$، $\text{m}^3$، $\text{ft}^3$) أو بوحدات السعة (لترات، غالونات).

لماذا يهم الحجم

• الهندسة: تحديد أحجام الخزانات والأنابيب والحاويات
• الطب: حساب الجرعات وأحجام الأعضاء
• الشحن: تحديد مساحة البضائع والتعبئة
• الطبخ: قياس المكونات
• البناء: تقدير الخرسانة أو الحصى أو الردم

وحدات الحجم

صيغ الحجم للأشكال ثلاثية الأبعاد الشائعة

المكعب

جميع الأضلاع متساوية:

$V = s^3$

مثال: مكعب ضلعه $s = 5$ حجمه $V = 5^3 = 125$ وحدة مكعبة.

الكرة

شكل ثلاثي الأبعاد كروي تمامًا:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

مثال: كرة نصف قطرها $r = 6$ حجمها $V = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = \frac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904.78$ وحدة مكعبة.

الأسطوانة

الأسطوانة في جوهرها دائرة مبثوقة إلى ارتفاع $h$:

$V = \pi r^2 h$

هذا ببساطة مساحة القاعدة ($\pi r^2$) في الارتفاع ($h$).

مثال: أسطوانة بـ $r = 3$ و $h = 10$ حجمها $V = \pi(3)^2(10) = 90\pi \approx 282.74$ وحدة مكعبة.

المخروط

المخروط هو ثلث أسطوانة بنفس القاعدة والارتفاع:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

مثال: مخروط بـ $r = 4$ و $h = 9$ حجمه $V = \frac{1}{3}\pi(4)^2(9) = \frac{1}{3}\pi(144) = 48\pi \approx 150.80$ وحدة مكعبة.

العلاقة بين الأشكال

• المخروط هو بالضبط $\frac{1}{3}$ حجم أسطوانة بنفس نصف قطر القاعدة والارتفاع
• الكرة لها نفس حجم مخروط ارتفاعه يساوي $4r$ ونصف قطر قاعدته يساوي $r$ (لأن $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 (4r)$)
• نصف الكرة هو بالضبط $\frac{2}{3}$ من الأسطوانة المحيطة به

• الخلط بين نصف القطر والقطر — تحقق دائمًا مما إذا كان معطى نصف القطر أو القطر. إذا أُعطي القطر، اقسمه على 2 قبل استخدام صيغ الحجم.
• نسيان عامل $\frac{1}{3}$ للمخروطات والأهرام — المخروط ليس بنفس حجم الأسطوانة. عامل $\frac{1}{3}$ يأخذ في الحسبان التضيّق.
• استخدام الارتفاع المائل بدلًا من الارتفاع العمودي — للمخروطات والأهرام، تتطلب الصيغة الارتفاع الرأسي (العمودي)، وليس الارتفاع المائل على السطح.
• أخطاء التكعيب مقابل التربيع — بالنسبة للكرة، يُكعَّب نصف القطر ($r^3$)؛ بالنسبة للأسطوانة، يُربَّع نصف القطر ($r^2$) ثم يُضرب في الارتفاع. خلط هذين يعطي إجابات خاطئة جدًا.
• أخطاء تحويل الوحدات — عند تحويل الوحدات المكعبة، تذكّر تكعيب عامل التحويل الطولي. على سبيل المثال، $1\,\text{m}^3 = (100\,\text{cm})^3 = 1{,}000{,}000\,\text{cm}^3$، وليس $100\,\text{cm}^3$.